华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.6）极限存在准则两个重要极限

§1.6极限存在准则两个重要极限 准则Ⅰ及第一个重要极限 二、准则Ⅱ及第二个重要极限 自

一、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 §1.6 极限存在准则 两个重要极限 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、准则I及第一个重要极限 准则I 如果数列{xn}、{n}及{n}满足下列条件: (1)ynxn≤n(n=1,2,3,…) (2)lim y im z=a n→)00 n 那么数列{xn}的极限存在,且 lim x=a.>> n→0 今准则I 如果函数八(x)、g(x)及h(x)满足下列条件: (1)g(x)≤f(x)≤h(x), (2 )lim g(x)=A, lim h(x=a 那么imf(x)存在,且limf(x)=A 画首贝贝这回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、准则I及第一个重要极限 如果数列{xn }、{yn }及{zn }满足下列条件 (1)ynxnzn (n=1 2 3    ) ❖准则 I ❖准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2) yn a n = → lim  zn a n = → lim  下页 那么数列{xn }的极限存在 且 xn a n = → lim  >>>

☆第一个重要极限 lim SInx=1 x→>0x 简要证明参看附图,设圆心角∠AOB=(0<x<2) 显然BC<AB<AD,因此sinx<x<tanx, 从而cosx<x<1(此不等式当x0时也成立) 因为 lim cosx=1 D x->0 根据准则r, lim ow=1 x→>0x 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖第一个重要极限 显然 BC AB AD ( 因此 sin x x  tan x  D B 1 O C A x 1 sin lim 0 = → x x x  简要证明 参看附图 设圆心角AOB=x ( 2 0   x ) 从而 1 sin cos   x x x (此不等式当 x0 时也成立) 因为lim cos 1 0 = → x x  根据准则 I  1 sin lim 0 = → x x x  下页

☆第一个重要极限 lim SInx=1 x→>0x 注 在极限hmsa()中,只要以(x)是无穷小,就有 a(x) lim sina(x 这是因为,令l=a(x),则l->0,于是 lim sinar=lim sinu__1 a(x) u->0u 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: 这是因为 令u=a(x) 则u→0 于是 在极限 ( ) sin ( ) lim x x a a 中 只要a(x)是无穷小 就有 1 ( ) sin ( ) lim = x x a a  ( ) sin ( ) lim x x a a 1 sin lim 0 = = → u u u  下页 ❖第一个重要极限 1 sin lim 0 = → x x x 

lim SInx=1, lim sinaw)=1(dx)->0) x→>0x a(x) 例1求lim tanx x→>0x 解1 tanx -lim sinx -lim sinx. im- x->0x x-0 x COSx x>0 r x-0 COSX 例2求lim1=C0sx x→>0x 解 1-cOSx 2sin2 x lim -=lim m x->0x 2 x→>0X 2x->0x Sn、2 Im x-)0x 2 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 1 sin lim 0 = → x x x  1 ( ) sin ( ) lim = x x a a (a(x)→0) 例 例 11 求 x x x tan lim →0  解 x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解 解   x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解  x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解  x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x  解 例 例 22 求 2 0 1 cos lim x x x − →  首页 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =         = → x x x  2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =         = → x x x  2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ =