§1.5极限运算法则 无穷小的性质 ☆极限的四则运算法则 自
❖无穷小的性质 ❖极限的四则运算法则 §1.5 极限运算法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃
无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 证明仅就两个x>x时的无穷小情形证明. 设a及B是当x>x时的两个无穷小,则E>0, 81>0,当0<x-x<o1时,有a<E; a2>0,当04xx0k2时,有/<E 取δ=min{a,a},则当0<x-xk<o时,有 a+B<d+B<28 这说明a+B也是当x>x0时的无穷小 举例:当x→>0时,x与sinx都是无穷小,所以x+sinx也是当 x→>0时的无穷小 百贝贝返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 设及是当x→x0时的两个无穷小 则 0 10 当0|x−x0 |1 时 有|| 20 当0|x−x0 |2 时 有|| 取 =min{1 2 } 则当0|x−x0 |时 有 这说明+ 也是当x→x0时的无穷小 |+|||+||2 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 仅就两个x→x0时的无穷小情形证明 举例: 当x→0时 x与sin x都是无穷小 所以x+sin x也是当 x→0时的无穷小 下页
◆无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明设函数在x0的某一去心邻域{x(0<x-x0<61}内 有界,即彐M0,使当0<xx0<6时,有≤M 又设a是当x>x时的无穷小,即∨>0,存在2>0,使当 0<x-xok<a时,有a<E 取min{a,a2},则当0<x-x0<o时,有 lu d=ud<ME 这说明va也是当x→>x时的无穷小 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|x−x0 | 1 }内 有界 即M0 使当0|x−x0 |1时 有|u|M 又设是当x→x0时的无穷小 即0 存在20 使当 0|x−x0 |2时 有|| 取=min{1 2 } 则当0|x−x0 | 时 有 |u|=|u|||M 这说明u 也是当x→x0时的无穷小 证明 •定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 下页
◆无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小 举例:当x∞时,1是无穷小, arctan x是有界函数, 所以 arctan x也是无穷小 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 举例 : 当 x→时 x 1 是无穷小 arctan x 是有界函数 所以 x 1 arctan x 也是无穷小 •推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 •定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 •推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 首页
◆极限的四则运算法则 ●定理3 如果 lim f(x)=A,lmg(x)=B,那么 (1)im[(x)+g(x)=lmf(x)±img(x)=A±B.>> (2 )lim f(x) g(x)=lim f(x). lim g(x=A. B (3)lm f(x) lim f(xA n(B≠0) g(x) lim g(x) b e推论1如果 lim fox)存在,而c为常数,则 limc f(x)=climf(x) 推论2如果imf(x)存在,而n是正整数,则 lieff()]n=[imf(m 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB •推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim[cf(x)]=climf(x) •推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n •定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 下页 ❖极限的四则运算法则 (3) B A g x f x g x f x = = lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim (B0) (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB >>>