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习题1-2中的部分习题: COS 2.设数列x}的一般项xn=-2.问lmxn=? n→)00 求出N,使当n>N时,xn与其极限之差的绝对值小于正数E, 当E=0.001时,求出数N 4. lim u=a,证明lim|ln=lal.并举例说明:如果数列 n→>00 x}有极限,但数列{xn}未必有极限 6.对于数列{xn}若x2→>a(k>∞),x2k+1→>a(k>∞) 证明:xna(m-∞) 首页上页返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 习题1-2中的部分习题: 6. 对于数列{x n }若x2k→a (k→), x2k+1→a (k→), 证明: x n →a (n→). 4. un a n = → lim , 证明 lim |u | |a| n n = → . 并举例说明: 如果数列 {|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 2. 设数列{xn}的一般项 n n xn 2 cos = . 问 n n x → lim =? 求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数 , 当 =0.001时, 求出数N
1丌 cOS- 2.设数列x}的一般项x=2.问lmxn= n→)00 求出N,使当nN时,x,与其极限之差的绝对值小于正数E, 当E=0.001时,求出数N 解 lim xn =0 n→)0 1-0人cos2? ∨E>0,要使xn0<E,只要<E,也就是以一 取N=[-],则m>N,有x1-0<E 当E=0.001时,N=[]=1000 上页返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2. 设数列{xn}的一般项 n n xn 2 cos = . 问 n n x → lim =? 求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数 , 当 =0.001时, 求出数N. 解 lim =0 → n n x . n n n xn 1 | 2 |cos | −0|= >0, 要使|x n −0|< , 只要 n 1 , 也就是 1 n . 取 ] 1 [ N= , 则n>N, 有|xn −0|< . 当 =0.001 时, ] 1 [ N= =1000. 解 n n n xn 1 | 2 |cos | −0|= 当 =0.001 时, ] 1 [ N= =1000
4. lim u=a,证明 lim=al.并举例说明:如果数列 n→)0 n→00 xn}有极限,但数列{xn}未必有极限 证明因为n→a(m>∞),所以∨E>0,NeN,当n>N时,有 ur-aks 从而 n}-l‖≤ln-al<E 这就证明了an>a(n->∞) 数列{xn}有极限不能保证数列{xn}也有极限 例如lm(-1)y}=1,但lm(-1)y不存在 首页上页返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 4. un a n = → lim , 证明 lim |u | |a| n n = → . 并举例说明: 如果数列 {|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 证明 因为un→a(n→), |un−a| 从而 这就证明了|un |→|a|(n→). ||un |−|a|| |un−a| . 所以 >0, NN, 当n>N时, 有 数列{|xn |}有极限不能保证数列{xn }也有极限. 例如 lim |(−1) |=1 → n n , 但 n n lim (−1) → 不存在
6.对于数列{xn}若x2→>a(k>∞),x2+1→>a(k>∞) 证明:xn→>a(n->∞) 证明因为x2k→>a(k→>∞)2x41a(k->∞),所以E0, 日K1,当2k>2K时,有2-aE; K2,当2+1>2K2+1时,有x2k+aE 取N=max{2K1,2K2+1},只要n>N,就有 n -aa 因此xn→>a(n→>∞) 首页上页返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 6. 对于数列{x n }若x2k→a (k→), x2k+1→a (k→), 证明: x n →a (n→). K1 , 当2k>2K1时, 有|x2k−a|< ; K2 , 当2k+1>2K2+1时, 有|x2k+1−a|< . 取N=max{2K1 , 2K2+1}, 只要n>N, 就有 |xn−a|< . 因此xn→a (n→). 证明 因为x2k→a (k→), x2k+1→a (k→), 所以>0