第二节齐次马尔可夫链 齐次马尔可夫链的概念 个随机过程{Ⅻn,n=0,1,2,…}就是一族随机变量,而‰n能取 的各个不同的值,则称为状态。如果一个随机过程{Xn,n=0,1,2,…}, 由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关,而 与在这时刻之前所处的状态完全无关,即如果过程{Xn,n=0,1,2,…} 中,‰m+的条件概率分布只依赖于‰n的值,而与所有更前面的值相互独立, 则该过程就是所谓马尔可夫( Markov)过程. 马尔可夫链是指时间离散,状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可 夫链,若从u时刻处于状态i,转移到t+u时刻处于状态j的转移概率 与转移的起始时间u无关,则称之为齐次马尔可夫链,简称齐次马氏链 如果把从状态i到状态j的一步转移概率记为p,则p=P{Xn 且有转移概率矩阵P P10 pll p PaP21P2… 这样,一个齐次马氏链,可以由一个转移概率矩阵P以及在时刻零时 状态x=0,1,2,…的概率分布列向量 Q=(q(0),q(1),…) 完全确定。由齐次马氏链性质知道,第i状态的行向量A与第i+1 状态的行向量A之间存在着关系式:A+1=AP。 二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用 教学过程是一个随机过程,也就是说,对于具有相同基础知识背景的 学生(个体),在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体) 的学生划分为不同的等级(譬如:优、良、中、及格、不及格五个等级), 近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识,用齐次马氏链,通 过学生学习状态的转移概率矩阵,最终可以预测一个班学生学习成绩的稳 定状态。对教师而言,也就可用来评估、预测一个班的教学质量。 在教学效果指标的量化过程中,齐次马氏链评估法是将一个群体(如 个班或一个年级)的学生在某次考试中获得优(90分以上)、良(80~89 分)、中(70~79分)、及格(60~69分)和不及格(59分以下)各等级学生 人数占总人数之比,作为状态变量,并用向量表示之。即
第二节 齐次马尔可夫链 一、齐次马尔可夫链的概念 一个随机过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝就是一族随机变量，而 Xn能取 的各个不同的值，则称为状态。如果一个随机过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝， 由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关，而 与在这时刻之前所处的状态完全无关，即如果过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝ 中，Xn+1的条件概率分布只依赖于 Xn的值，而与所有更前面的值相互独立， 则该过程就是所谓马尔可夫(Markov)过程． 马尔可夫链是指时间离散，状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可 夫链，若从 u 时刻处于状态 i，转移到 t＋u 时刻处于状态 j 的转移概率 与转移的起始时间 u 无关，则称之为齐次马尔可夫链，简称齐次马氏链。 如果把从状态 i 到状态 j 的一步转移概率记为 pij，则 pij＝P｛Xn+1＝j｜ Xn＝i｝，i，j＝0，1，2，…，且有转移概率矩阵 P， 这样，一个齐次马氏链，可以由一个转移概率矩阵 P 以及在时刻零时 状态 x＝0，1，2，…的概率分布列向量 Q＝(q(0)，q(1)，…) 完全确定。由齐次马氏链性质知道，第 i 状态的行向量 Ai与第 i＋1 状态的行向量 Ai+1之间存在着关系式：Ai+1＝AiP。 二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用 教学过程是一个随机过程，也就是说，对于具有相同基础知识背景的 学生(个体)，在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体) 的学生划分为不同的等级(譬如：优、良、中、及格、不及格五个等级)， 近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识，用齐次马氏链，通 过学生学习状态的转移概率矩阵，最终可以预测一个班学生学习成绩的稳 定状态。对教师而言，也就可用来评估、预测一个班的教学质量。 在教学效果指标的量化过程中，齐次马氏链评估法是将一个群体(如 一个班或一个年级)的学生在某次考试中获得优(90 分以上)、良(80～89 分)、中(70～79 分)、及格(60～69 分)和不及格(59 分以下)各等级学生 人数占总人数之比，作为状态变量，并用向量表示之。即
R(t)=(X1(t),X2(t),X3(t),X4(t),M5(t), 这里,示时刻,“,显然有∑x(t)=1 由于齐次马氏链与t时刻前的状态无关(呈无后效性),可以研究当t 变化时,状态向量R(t)的变化规律,从而对教学效果进行评估 设经第一次考试,一个班n个学生中,优、良、中、及格、不及格的 学生数分别为n(i=1,2,3,4,5),则状态向量 R(1) n n n 称作初始向量。为考察教学效果,继续分析下一次考试时,上述学生 的等级变化。若经第二次考试后,原来获优等成绩的n名学生中,仍保 持优等的是n人,转化为“良” ”,“及格”,“不及格”的学 生分别有n12,n3,n14,n15人,于是,第一次考试成绩优等的学生考试成 绩转移情况是 路-(m 13 n 14 同样,其余各个等级的学生的考试成绩转移情况是 P P3.==n 313 n3’n3’n3 , 3 Ps n53 n54 n n 向量中m(i,j=1,2,3,4,5)表示从状态i变成状态j的人数。 这一转移情况用矩阵表示为
R(t)＝(X1(t)，X2(t)，X3(t)，X4(t)，X5(t))， 由于齐次马氏链与 t 时刻前的状态无关(呈无后效性)，可以研究当 t 变化时，状态向量 R(t)的变化规律，从而对教学效果进行评估。 设经第一次考试，一个班 n 个学生中，优、良、中、及格、不及格的 学生数分别为 ni(i＝1，2，3，4，5)，则状态向量 称作初始向量。为考察教学效果，继续分析下一次考试时，上述学生 的等级变化。若经第二次考试后，原来获优等成绩的 n1名学生中，仍保 持优等的是 n11人，转化为“良”，“中”，“及格”，“不及格”的学 生分别有 n12，n13，n14，n15人，于是，第一次考试成绩优等的学生考试成 绩转移情况是 同样，其余各个等级的学生的考试成绩转移情况是 向量中 nij(i，j＝1，2，3，4，5)表示从状态 i 变成状态 j 的人数。 这一转移情况用矩阵表示为
n12 113n14n15 n1 N21 22 n23 n24n25 n n n叫=(p) n 142 少9 n n n ns n P为转移概率矩阵,简称转概阵。 符合齐次马氏链学习状态转移概率矩阵的学生学习成绩最终必然趋 于平稳状态 X=(x1,x2,x3,x4,xs), 即X=X·P 也即XE一P) (E-P) 解此线性方程组,可得状态R(t)时学生学习成绩的平稳分布X。 下面,我们仍以第一节表5-1中的15名学生的成绩为例,分析这 群体在两次考试中学生等级的变化。按优、良、中、及格、不及格五等划 分,分别是2人、4人、4人、5人和0人,因此, 2445 R(1)= 15151515 各个等级学生转移情况分别是
P 为转移概率矩阵，简称转概阵。 符合齐次马氏链学习状态转移概率矩阵的学生学习成绩最终必然趋 于平稳状态 X＝(x1，x2，x3，x4，x5)， 即 X＝X·P， 也即 X(E－P)＝0， 解此线性方程组，可得状态 R(t)时学生学习成绩的平稳分布 X。 下面，我们仍以第一节表 5－1 中的 15 名学生的成绩为例，分析这一 群体在两次考试中学生等级的变化。按优、良、中、及格、不及格五等划 分，分别是 2 人、4 人、4 人、5 人和 0 人，因此， 各个等级学生转移情况分别是
0 0 0 4 P3 P4 0,0 (0 2 01-4 1-23 0 组成转概阵P=00 2 2-50 3 5 00 00 第二次考试成绩分布状态 R(2)=R(1)·P= (3小 按照这个变化规律,第三次考试成绩分布状态 7 R(3)=R(2)·P= 即在第三次考试后,学生中优等、良等的人数减少了,而中等的人数 和及格的人数却在增加。这样,就可以分析这组学生群体的变化状态。设 该过程的平稳状态分布列为X,由于 (E一P)X=0
第二次考试成绩分布状态 按照这个变化规律，第三次考试成绩分布状态 即在第三次考试后，学生中优等、良等的人数减少了，而中等的人数 和及格的人数却在增加。这样，就可以分析这组学生群体的变化状态。设 该过程的平稳状态分布列为 X，由于 (E－P)TX＝0
3-44-30 000x1 1-20 0 =0, 于是 7x1 342-5 0 解得 45 X=(0,0 9 从而可以断定,最终只有中等和及格两等级的学生,其人数分别占总 数的56%和44 三、齐次马氏链在评估解题状态中的应用 解决问题是数学教育的一项主要任务。如果能够把一个题目,按学生 解题的认知过程的发展,分解成几个不同层次的状态,那么就可以用齐次 马氏链去测量一个群体(如一个班或一个年级的学生)解决问题的能力与 状况。 首先,我们认为解决一个问题的过程是由分析S1、设计S2、探究S3 实施S4和验证S5这样五个状态组成的,并且这五个状态存在如图5-2的 关系。分成了上面五个状态,我们可以认为解决问题的后一状态只与它的 前一个状态有关,而与它的更前面的状态无关。这就完全符合齐次马氏链 所要求的条件
从而可以断定，最终只有中等和及格两等级的学生，其人数分别占总 数的 56％和 44％。 三、齐次马氏链在评估解题状态中的应用 解决问题是数学教育的一项主要任务。如果能够把一个题目，按学生 解题的认知过程的发展，分解成几个不同层次的状态，那么就可以用齐次 马氏链去测量一个群体(如一个班或一个年级的学生)解决问题的能力与 状况。 首先，我们认为解决一个问题的过程是由分析 S1、设计 S2、探究 S3、 实施 S4和验证 S5这样五个状态组成的，并且这五个状态存在如图 5－2 的 关系。分成了上面五个状态，我们可以认为解决问题的后一状态只与它的 前一个状态有关，而与它的更前面的状态无关。这就完全符合齐次马氏链 所要求的条件