第二节数学题的拟造 由已知条件、已知条件展开的数学逻辑叙述(推理)过程,及由此得到 的结论这三个要素组成完整数学意义的陈述。隐去或部分隐去真实、确定 的完整数学意义陈述的构成要素,要求应答者构造 表32全国初中数学数学抽祥调查测试题双向细 目表 试别I试Ⅱ试 分数 水 了理理掌灵 年级 解解解握活 与教学内容 层 学不 有理数 整式的加减 元一次方程23 一元一次不等式23 二元一次方程组 32 因式分解 分式 116106o 初二数的开方 二次根式 元二次方程 169 初三常用对数 6 函数及其图象 2|10 解三角形 小计 1212l6os45 几何初二基本概念 目交线、平行线 三角形 面积、勾股定理 小计518uo35 4as|e420
第二节 数学题的拟造 由已知条件、已知条件展开的数学逻辑叙述(推理)过程，及由此得到 的结论这三个要素组成完整数学意义的陈述。隐去或部分隐去真实、确定 的完整数学意义陈述的构成要素，要求应答者构造
完整数学意义的陈述。这种构造过程就是拟造数学题。拟题的方法有 以下几种。 、改编陈题 习惯上把数学教科书中的例题、习题和其他各类书刊上已有的题目等 称为陈题。根据陈题拟造新题,所得的新题源于陈题,又有新意,对作答 者要求的针对性较强。它是拟造新题的一种常用方法。 1.变更陈题的结论拟造新题 这种拟造新题的方法是保持陈题的条件不变,变更陈题的结论。怎样 变更结论呢? (1)将陈题的结论特殊化拟造新题 例1已知数列{an}满足 +d 其中c≠0,且c≠1,证明这个数列的通项公式是 (d-b)c"--d (选自高级中学课本《代数》(下册)) 若考察这个数列的第10项,可拟造如下的题目 已知数列{an}满足 an d 其中c≠0,且c≠1,求a10。 (2)将陈题的结论作为中间结果拟造新题 例2如图3-1,⊙01和⊙O2外切于点A,BC是⊙01和⊙O2的公切线, B、C是切点,求证AB⊥AC。(选自初级中学课本《几何》(第二册)) 将AB⊥AC作为进行下一步推理的条件,可拟造如下的题目
完整数学意义的陈述。这种构造过程就是拟造数学题。拟题的方法有 以下几种。 一、改编陈题 习惯上把数学教科书中的例题、习题和其他各类书刊上已有的题目等 称为陈题。根据陈题拟造新题，所得的新题源于陈题，又有新意，对作答 者要求的针对性较强。它是拟造新题的一种常用方法。 1．变更陈题的结论拟造新题 这种拟造新题的方法是保持陈题的条件不变，变更陈题的结论。怎样 变更结论呢？ (1) 将陈题的结论特殊化拟造新题 例 1 已知数列｛an｝满足 其中 c≠0，且 c≠1，证明这个数列的通项公式是 (选自高级中学课本《代数》(下册)) 若考察这个数列的第 10 项，可拟造如下的题目： 已知数列｛an｝满足 其中 c≠0，且 c≠1，求 a10。 (2)将陈题的结论作为中间结果拟造新题 例 2 如图 3－1，⊙O1和⊙O2外切于点 A，BC 是⊙O1和⊙O2的公切线， B、C 是切点，求证 AB⊥AC。(选自初级中学课本《几何》(第二册)) 将 AB⊥AC 作为进行下一步推理的条件，可拟造如下的题目：
02 如图3-1,⊙01和⊙O外切于点A,BC是⊙01和⊙O2的公切线,B、C 是切点,求证:以BC为直径的圆必与线段0102相切于点A。 (3)将陈题的结论作等价变换拟造新题 例3求证: 30 sin d + sin2 a t sin3a =4cos- a sin-o 将等式的右边作等价变换,可拟造如下的题目: 求证 sina t anat sin3a=4sn2aco12+=coso 2.变更陈题的条件拟造新题 这种拟造新题的方法是保持结论不变,变更陈题的条件。变更条件有 如下途径。 (1)将陈题的条件作等价变换拟造新题 例4设(x-3)2+(y-1)2=0(x,y为实数),求x、y。(选自初级中 学课本《代数》(第四册) 等价变换本题条件的表述形式,可拟造如下的题目: 已知x2-6x+y2-2y+10=0(x,y为实数),求x、y (2)寻找得到陈题条件的条件拟造新题 例5已知数列{an},其中an= cosn a(0<a<丌),求
如图 3－1，⊙O1和⊙O2外切于点 A，BC 是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C 是切点，求证：以 BC 为直径的圆必与线段 O1O2相切于点 A。 (3)将陈题的结论作等价变换拟造新题 例 3 求证： 将等式的右边作等价变换，可拟造如下的题目： 求证： 2．变更陈题的条件拟造新题 这种拟造新题的方法是保持结论不变，变更陈题的条件。变更条件有 如下途径。 (1)将陈题的条件作等价变换拟造新题 例 4 设(x－3)2＋(y－1)2＝0(x，y 为实数)，求 x、y。(选自初级中 学课本《代数》(第四册)) 等价变换本题条件的表述形式，可拟造如下的题目： 已知 x2－6x＋y2－2y＋10＝0(x，y 为实数)，求 x、y。 (2)寻找得到陈题条件的条件拟造新题 例 5 已知数列｛an｝，其中 an＝cosnα(0＜α＜π)，求
a1-a2+a3-a4+…+(-1)k+1ak 由an= cosn a可得an=2 an-1cos a-an2,但反之不然。为了能由 an' 2 an-icos a-an2,得出an= cosn a,显然还需附加规定a1=cosa,a=cos2 这样可拟造如下的题目 已知数列{an},其中a1=cosa,a2=cos2a, an=2an1·cosa-an2(n≥3,0<a<π), 求a1-a2+a3-a4+…+(-1)k+1ak (3)将陈题的条件一般化拟造新题 例6如图3-2,已知点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN均是等 边三角形,求证:AN=BM。(选自初级中学课本《几何》(第一册)) M 图3-2 该题中C点被限制在AB上。一般地,若C是任意一点,也有同样的 结论,这样可拟造如下的题目 如图3-3,已知点C是任意一点,△ACM与△BCN均是等边三角形 求证:AN=BM。 (4)将条件特殊化拟造新题 例7已知P为定角∠XAY的平分线上的定点,过P、A两点任作一圆 与A交于点B,与AY交于点C,求证AB+AC为定值。 若取∠XAY=60°,AP=2√3,这样可拟出如下的题目: 已知P为∠xAY平分线上的一点,∠XAY=60°,AP=2,过P、 A两点任作一圆与AX交于点B,与AY交于点C,求证AB+AC为定值。 3.同时变更陈题的条件和结论拟造新题
a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。 由 an＝cosnα可得 an＝2an-1cosα－an-2，但反之不然。为了能由 an＝ 2an-1cosα－an-2，得出 an＝cosnα，显然还需附加规定 a1＝cosα，a2＝cos2 α。这样可拟造如下的题目： 已知数列｛an｝，其中 a1＝cosα，a2＝cos2α， an＝2an-1·cosα－an-2(n≥3，0＜α＜π)， 求 a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。 (3)将陈题的条件一般化拟造新题 例 6 如图 3－2，已知点 C 为线段 AB 上一点，△ACM 与△CBN 均是等 边三角形，求证：AN＝BM。(选自初级中学课本《几何》(第一册)) 该题中 C 点被限制在 AB 上。一般地，若 C 是任意一点，也有同样的 结论，这样可拟造如下的题目： 如图 3－3，已知点 C 是任意一点，△ACM 与△BCN 均是等边三角形， 求证：AN＝BM。 (4)将条件特殊化拟造新题 例 7 已知 P 为定角∠XAY 的平分线上的定点，过 P、A 两点任作一圆 与 AX 交于点 B，与 AY 交于点 C，求证 AB＋AC 为定值。 过 P、 A 两点任作一圆与 AX 交于点 B，与 AY 交于点 C，求证 AB＋AC 为定值。 3．同时变更陈题的条件和结论拟造新题
同时变更陈题的条件、结论是一种较为有效的拟题方法。 (1)通过类比关系拟造新题 将陈题的知识背景与另一知识背景建立类比关系,从而拟造出类似的 问题(新题的正确性用另外途径加以证明)。 例8证明圆内接n(n≥3)边形中的面积最大者为正n边形。若已知圆 的半径为R,求出这个最大面积 不妨设圆的方程为x2+y2=R2,作变换x′=x,y′=2,则 b 有x′2+b2y2=R2,进一步可得 b 这样把圆压缩(拉伸)为椭圆,从而圆与椭圆可进行类比。对于椭圆, 可拟造类似的题目 已知椭圆+=1,求其内接n(m>3)边形的最大面积。 (2)将陈题的条件和结论同时一般化拟造新题 例9已知a,b∈R+,a≠b,求证a4+b4>a3b+ab3。(选自高级中学 课本《代数》(下册)) 分别将条件和不等式左、右两边各项同时一般化,有: 若a∈R+(i=1,2,…,n),n,m,p,q均为自然数,且p+q=m, 求证: n(a+a+…+a)>(a+a+…+a)·(a+a号 当且仅当a1=a2 an时等号成立 (3)将陈题的条件和结论同时特殊化拟造新题
同时变更陈题的条件、结论是一种较为有效的拟题方法。 (1)通过类比关系拟造新题 将陈题的知识背景与另一知识背景建立类比关系，从而拟造出类似的 问题(新题的正确性用另外途径加以证明)。 例 8 证明圆内接 n(n≥3)边形中的面积最大者为正 n 边形。若已知圆 的半径为 R，求出这个最大面积。 有 x′2＋b2y′2＝R2，进一步可得 这样把圆压缩(拉伸)为椭圆，从而圆与椭圆可进行类比。对于椭圆， 可拟造类似的题目： (2)将陈题的条件和结论同时一般化拟造新题 例 9 已知 a，b∈R＋，a≠b，求证 a4＋b4＞a3b＋ab3。(选自高级中学 课本《代数》(下册)) 分别将条件和不等式左、右两边各项同时一般化，有： 若 ai∈R＋(i＝1，2，…，n)，n，m，p，q 均为自然数，且 p＋q＝m， 求证： 当且仅当 a1＝a2＝…＝an时等号成立。 (3)将陈题的条件和结论同时特殊化拟造新题