第三节数学学习水平评估举例 学习水平评估是教学评估的重要组成部分。全国第一次初中数学教学 抽样调查的报告科学地评估了1987届初中学生的数学学习水平,从中可 以进一步看出数学学习水平评估的意义、内容和方法。这次教学调查采用 分级分层整群随机抽样方法,从京、津、晋、沪、苏、皖、粤、鄂、桂 陕、甘、吉、黑、川、滇等15个省(自治区、直辖市)抽取605所学校的 49603名学生作为调查对象。调查方式主要是对学生进行数学测试。以数 学教学大纲为依据所设计的测试题(见附件一)分为Ⅰ试和Ⅱ试,I试中全 是客观性试题,主要考查数学基础知识,满分为100分;Ⅱ试中全是陈述 性试题,主要考査数学基本技能和能力,满分也为100分。命题时设想两 试成绩之和不低于120分为数学学习的合格水平。 一、全体被试的数学学习水平 全体被试的两试总平均成绩为130.89分,其中Ⅰ试平均成绩为73.73 分,Ⅱ试平均成绩为57.16分。这表明全体被试在数学基础知识、基本技 能和基本能力方面的平均成绩达到合格水平,并且达到数学教学大纲规定 的基本要求。 全体被试两试成绩的标准差为52.41分,表明学生成绩的离散程度是 相当高的,数学学习水平也很不平衡。I试和Ⅱ试的变异系数(标准差除 以平均分)分别为0.32和0.53,则进一步反映学生在基本技能和能力方 面的离散程度高于在基础知识方面的离散程度。 31.8 频率( 6.0 01020304050 70 图4-3I试成绩频庇分布直方图
第三节 数学学习水平评估举例 学习水平评估是教学评估的重要组成部分。全国第一次初中数学教学 抽样调查的报告科学地评估了 1987 届初中学生的数学学习水平，从中可 以进一步看出数学学习水平评估的意义、内容和方法。这次教学调查采用 分级分层整群随机抽样方法，从京、津、晋、沪、苏、皖、粤、鄂、桂、 陕、甘、吉、黑、川、滇等 15 个省(自治区、直辖市)抽取 605 所学校的 49603 名学生作为调查对象。调查方式主要是对学生进行数学测试。以数 学教学大纲为依据所设计的测试题(见附件一)分为Ⅰ试和Ⅱ试，Ⅰ试中全 是客观性试题，主要考查数学基础知识，满分为 100 分；Ⅱ试中全是陈述 性试题，主要考查数学基本技能和能力，满分也为 100 分。命题时设想两 试成绩之和不低于 120 分为数学学习的合格水平。 一、全体被试的数学学习水平 全体被试的两试总平均成绩为 130.89 分，其中Ⅰ试平均成绩为 73.73 分，Ⅱ试平均成绩为 57.16 分。这表明全体被试在数学基础知识、基本技 能和基本能力方面的平均成绩达到合格水平，并且达到数学教学大纲规定 的基本要求。 全体被试两试成绩的标准差为 52.41 分，表明学生成绩的离散程度是 相当高的，数学学习水平也很不平衡。Ⅰ试和Ⅱ试的变异系数(标准差除 以平均分)分别为 0.32 和 0.53，则进一步反映学生在基本技能和能力方 面的离散程度高于在基础知识方面的离散程度
频率() 14.314.5 13.0 10 7.1 7.9 分数 图4-4I试成绩频率分布直方图 从Ⅰ试的成绩分布(图4-3)可以看到,成绩高于80分的学生占 51.6%,这一部分学生较好地掌握了数学基础知识;但尚有26%的学生的 成绩低于60分,他们对基础知识掌握得较差。图4-3述表明,学生的比 率对测试成绩呈递增趋势。从Ⅱ试的成绩分布(图4-4)可见,成绩高于 80分的学生占28.8%,这一部分学生较好地掌握了数学基本技能和能力; 但成绩低于60分的学生的比率高达47.8%,这一部分学生的数学技能和 能力较差。图4-4还表明,全体学生的数学技能和能力处于“两头大、 中间小”的分布状态。从Ⅰ、Ⅱ两试的成绩分布(图4-5)可见,成绩高 于120分的学生仅占62.7%,这一部分学生达到了数学教学大纲所规定的 基本要求;但处于合格水平以下学生的比率是很高的。图4-5还表明, 学生的比率对测试成绩呈递增趋势。 频率(%) 19,4 18.9 13.9 10.5 7.7 图4-5I、Ⅱ两试总分的频率分布直方图 、各省被试的数学学习水平 从各省的平均成绩(表4-2)可以看到,11个省的两试平均成绩都超 过120分,其中5个省超过140分;Ⅰ试平均成绩超过60分的有14个省, 其中5个省超过80分;Ⅱ试平均成绩超过60分的只有7个省。这就是说, 有三分之一的省在这次测试中取得了较好的成绩,另有三分之一的省的成 绩不够理想
从Ⅰ试的成绩分布(图 4－3)可以看到，成绩高于 80 分的学生占 51.6%，这一部分学生较好地掌握了数学基础知识；但尚有 26%的学生的 成绩低于 60 分，他们对基础知识掌握得较差。图 4－3 述表明，学生的比 率对测试成绩呈递增趋势。从Ⅱ试的成绩分布(图 4－4)可见，成绩高于 80 分的学生占 28.8%，这一部分学生较好地掌握了数学基本技能和能力； 但成绩低于 60 分的学生的比率高达 47.8%，这一部分学生的数学技能和 能力较差。图 4－4 还表明，全体学生的数学技能和能力处于“两头大、 中间小”的分布状态。从Ⅰ、Ⅱ两试的成绩分布(图 4－5)可见，成绩高 于 120 分的学生仅占 62.7%，这一部分学生达到了数学教学大纲所规定的 基本要求；但处于合格水平以下学生的比率是很高的。图 4－5 还表明， 学生的比率对测试成绩呈递增趋势。 二、各省被试的数学学习水平 从各省的平均成绩(表 4－2)可以看到，11 个省的两试平均成绩都超 过 120 分，其中 5 个省超过 140 分；Ⅰ试平均成绩超过 60 分的有 14 个省， 其中 5 个省超过 80 分；Ⅱ试平均成绩超过 60 分的只有 7 个省。这就是说， 有三分之一的省在这次测试中取得了较好的成绩，另有三分之一的省的成 绩不够理想
通过考查各省学生成绩的标准差(表4-2),可以进一步发现,各省 内部学生水平的离散程度也非常高,并且成绩较低省的情况更为严重。比 较Ⅰ、Ⅱ两试成绩的变异系数还可以看到,各省普遍 表4-2十五省学生的平均分和标准差 I试 ∏I试 I、Ⅱ两试 (编号 平均分标准差平均分标准差平均分标准差 017522210355.122830130344769 028130194968492830149794638 03822218316872537150994756 0481391879623727014376465 058033199666332754146664592 06646250551.563151121025459 07724222335263284712505445 088194213369682895151624874 09752621.215342701128754648 10757823606041288913619510 11680322049.552687117 4709 123684211761.322957138164822 13679254045762948115522 146132x9213360|19x551 15574826153750270194985262 存在着Ⅱ试成绩的离散程度髙于Ⅰ试成绩的离散程度的现象。尽管成 绩的离散程度有随着成绩的增大而减小的趋势,但是Ⅱ试成绩变异系数与 Ⅰ试成绩变异系数比值的高低和成绩髙低之间并无联系。 三、各校被试的数学学习水平 从各校Ⅰ试、Ⅱ试平均分的频率分布(表4-3)可以看到,有46所 学校的Ⅰ试的平均成绩超过60分,占学校总数的77%,学生数占79.2% 有263所学校Ⅱ试的平均成绩超过60分,占学校总数的43.5%,学生数 占44.6%可以认为,有五分之四的学校在基础知识的教学上基本上达到 了要求,有五分之二多一些的学校在基本技能和能力的教学上基本上达到 了要求。从I、Ⅱ两试平均分的频率分布(表4-4)可以看到,I、Ⅱ两 试的总平均成绩
通过考查各省学生成绩的标准差(表 4－2)，可以进一步发现，各省 内部学生水平的离散程度也非常高，并且成绩较低省的情况更为严重。比 较Ⅰ、Ⅱ两试成绩的变异系数还可以看到，各省普遍 存在着Ⅱ试成绩的离散程度高于Ⅰ试成绩的离散程度的现象。尽管成 绩的离散程度有随着成绩的增大而减小的趋势，但是Ⅱ试成绩变异系数与 Ⅰ试成绩变异系数比值的高低和成绩高低之间并无联系。 三、各校被试的数学学习水平 从各校Ⅰ试、Ⅱ试平均分的频率分布(表 4－3)可以看到，有 466 所 学校的Ⅰ试的平均成绩超过 60 分，占学校总数的 77%，学生数占 79.2%； 有 263 所学校Ⅱ试的平均成绩超过 60 分，占学校总数的 43.5%，学生数 占 44.6%。可以认为，有五分之四的学校在基础知识的教学上基本上达到 了要求，有五分之二多一些的学校在基本技能和能力的教学上基本上达到 了要求。从Ⅰ、Ⅱ两试平均分的频率分布(表 4－4)可以看到，Ⅰ、Ⅱ两 试的总平均成绩
表4-3605所学校I试、Ⅱ试平均分的颚率分布 各 组学频率人数频率学频率人频率 校 )校()数() 142380416 20~230518804508335117 49376124675094170706180 50~98714468301391031598921173 60~6991607928160%61558559137 70~71411233|12891260821366802137 80~8913422112322867111549311 90~109415511541441830124625 表4-4605所学校I、Ⅱ两试平均 分的频率分布 各组范围学校数频率)人数频率 20~393 05 40~5911 18 60~7943 30436.1 6209125 100~119196 189915 200 10575213 140~19113187 9974|201 160~179911507577153 180~20047 78 35331 超过120分的学校有372所,占学校总数的61.5%,学生数占63.8%; 另有57所学校两试的总平均成绩低于80分,占学校总数的9.4%,学生 数占7.7%。总的来看,有五分之三的学校数学教学基本上达到了要求 但有近十分之一学校的数学教学质量很差。 各校总平均分的标准差为35.24分,说明学校与学校成绩之间的差距 也比较大。成绩最好的学校两试总平均成绩为198.08分(其中Ⅰ试平均成 绩为99.54分,Ⅱ试平均成绩为98.54分),成绩最差的学校两试平均成 绩仅为27.99分(其中Ⅰ试平均成绩为22.26分,Ⅱ试平均成绩为5.73
超过 120 分的学校有 372 所，占学校总数的 61.5%，学生数占 63.8%； 另有 57 所学校两试的总平均成绩低于 80 分，占学校总数的 9.4%，学生 数占 7.7%。总的来看，有五分之三的学校数学教学基本上达到了要求， 但有近十分之一学校的数学教学质量很差。 各校总平均分的标准差为 35.24 分，说明学校与学校成绩之间的差距 也比较大。成绩最好的学校两试总平均成绩为 198.08 分(其中Ⅰ试平均成 绩为 99.54 分，Ⅱ试平均成绩为 98.54 分)，成绩最差的学校两试平均成 绩仅为 27.99 分(其中Ⅰ试平均成绩为 22.26 分，Ⅱ试平均成绩为 5.73
分),相差170.09分(I试相差77.28分,Ⅱ试相差92.81分),也说明了 这个问题。 所有被调查学校中,属于厂矿、城市、城镇和农村的学校分别有33、 83、47和422所,相应的学生数分别为2524、8778、5023和33278。按 1986年初中会考成绩排序,把城市学校序列、城镇学校序列、农村学校 序列各截成上、中、下三层,使其学生数依次占该类学生总数的25%、50%、 25%。为了简便,我们用K1、K2、K3分别表示城市的上、中、下三层学校 用K4、K5、K6分别表示城镇的上、中、下三层学校;用K7、K8、K9分别表 示农村的上、中、下三层学校;对厂矿学校,统一用K表示。现在进 步考察这十类学校学生的数学学习水平。十类学校学生的平均分和标准差 如表4-5所示。这十类学校学生的平均分按由大到小的次序排列为K1、 K7、K4、K8、K、Ks、K2、Ko、K3、K6。从十类学校学生成绩的标准差来看, K4的成绩最为稳定;K1,K次之;Ks的成绩波动最大,Ko,K8次之。平均 分与标准差的相关系数为一0.71,则反映了成绩越好水平越稳定的趋势。 对十类学校学生成绩的两个主成分(有关主成分分析的原理和方法,可见 参考书[12])值(表4-6)进行聚类分析,其结果如图4-6所示,由图 表明,十类学校构成七个水 表4-5十类学校学生成绩的平均分和标准差 类别 k3 K4 k5 k6 k, ks Kg 平均分11041554 100148120285614831331206 标准s9146s01408 515 519 45.152553 表46十类学校学生成装的主成分值 9 Ko k1 k2 K3 k4 k5 K6 k K8 Kg 第一主121147-080-18009106264103016064 成分值 第二主0011041-012040120401200501100 成分值
分)，相差 170.09 分(Ⅰ试相差 77.28 分，Ⅱ试相差 92.81 分)，也说明了 这个问题。 所有被调查学校中，属于厂矿、城市、城镇和农村的学校分别有 33、 83、47 和 422 所，相应的学生数分别为 2524、8778、5023 和 33278。按 1986 年初中会考成绩排序，把城市学校序列、城镇学校序列、农村学校 序列各截成上、中、下三层，使其学生数依次占该类学生总数的 25%、50%、 25%。为了简便，我们用 K1、K2、K3分别表示城市的上、中、下三层学校； 用 K4、K5、K6分别表示城镇的上、中、下三层学校；用 K7、K8、K9分别表 示农村的上、中、下三层学校；对厂矿学校，统一用 K0表示。现在进一 步考察这十类学校学生的数学学习水平。十类学校学生的平均分和标准差 如表 4－5 所示。这十类学校学生的平均分按由大到小的次序排列为 K1、 K7、K4、K8、K9、K5、K2、K0、K3、K6。从十类学校学生成绩的标准差来看， K4的成绩最为稳定；K1，K7次之；K9的成绩波动最大，K0，K8次之。平均 分与标准差的相关系数为－0.71，则反映了成绩越好水平越稳定的趋势。 对十类学校学生成绩的两个主成分(有关主成分分析的原理和方法，可见 参考书［12］)值(表 4－6)进行聚类分析，其结果如图 4－6 所示，由图 表明，十类学校构成七个水