图62在布里渊区边界附近的能量 623能带结构及图示 在第五章的自由电子近似中,电子能量E(k)与k的关系曲线为抛物线,由于周期 边界条件,k取分立值,因而E(k)是个准连续的抛物线。在近自由电子近似中,由于 周期势场的微扰作用,E(k)曲线要作一些微小的修正(但仍是准连续变化),而在 k="x(n=±1,±2,±3……),即布里渊区边界,E(k)曲线断开,出现2|V|的能 量突变,如图63所示。在各能量断开的间隔不存在允许的电子能级。或者说,晶体中 的电子不能具有这个能量间隔中的能量。这个能量间隔就叫做禁带。这样,由于周期势 场的作用,原来准连续的电子能谱就变成一系列被禁带隔开的能带,这就是晶体中的电 子能谱被叫做能带论的原因。电了能谱的能带结构是周期场中运动电子的最基本特性。 二元k==二 图63E(k)图和能带 从上面讨论可知,禁带出现在波矢空间(或倒格空间)位矢的中点(即布里渊区边 界)上,允带(晶体中的电子可以具有此中能量)中电子能量的修正及禁带的宽度都取 决于周期势场的相关傅里叶分量。所以,晶体的能带结构由该晶体的结构和势能函数形 式决定。 晶体中电子的能谱由于受晶体周期性电场(或势场)的影响而形成允带,禁带交替 排列的能带结构,能量落在禁带中的电子是不能在晶体中存在的。禁带的宽度取决于周
图 6.2 在布里渊区边界附近的能量 6.2.3 能带结构及图示 在第五章的自由电子近似中，电子能量 E ( k )与 k 的关系曲线为抛物线，由于周期 边界条件，k 取分立值，因而 E ( k )是个准连续的抛物线。在近自由电子近似中，由于 周期势场的微扰作用，E ( k )曲线要作一些微小的修正（但仍是准连续变化），而在 a n k π = （n=±1，±2，±3……），即布里渊区边界，E ( k )曲线断开，出现 的能 量突变，如图 6.3 所示。在各能量断开的间隔不存在允许的电子能级。或者说，晶体中 的电子不能具有这个能量间隔中的能量。这个能量间隔就叫做禁带。这样，由于周期势 场的作用，原来准连续的电子能谱就变成一系列被禁带隔开的能带，这就是晶体中的电 子能谱被叫做能带论的原因。电了能谱的能带结构是周期场中运动电子的最基本特性。 Vn ||2 图 6.3 E（k）图和能带 从上面讨论可知，禁带出现在波矢空间（或倒格空间）位矢的中点（即布里渊区边 界）上，允带（晶体中的电子可以具有此中能量）中电子能量的修正及禁带的宽度都取 决于周期势场的相关傅里叶分量。所以，晶体的能带结构由该晶体的结构和势能函数形 式决定。 晶体中电子的能谱由于受晶体周期性电场（或势场）的影响而形成允带，禁带交替 排列的能带结构，能量落在禁带中的电子是不能在晶体中存在的。禁带的宽度取决于周 11
期场起伏的大小。光子也有类似的情况,由于介质中光子的速度与√4有关,对于非 磁介质,磁导率=1,所以光子的速度主要由介电常数E决定,如果把两种不同介电常 数的介质材料在空间按一定周期排列,则在其中传播的光子的能量和频率也会呈现带结 构,能量处于“光子禁带”中的光波是严格禁止在介质中传播的。光子禁带的宽度也取 决于周期排列介质起伏的大小,因此,两种介质的介电常数差别越大,光子禁带也越宽。 据此类比, Yablonovitch和John在1987年分别独立提出了“光子晶体”这一新概念, 使人们可以象用晶体控制电子运动一样,用光子晶体控制光子运动,这在光通讯等领域 有重要应用。同样的道理,由于声波速度受介质弹性常数影响,因此将介质的弹性常数 也作周期性排列,则在其中运动的声子的能量和频率也会出现声的带结构。只有能量位 于允带中的声子才能在材料中传播,形成“声子晶体”。声子晶体在超声换能器,振荡 器方面可望有重要应用。我国南京大学的学者提出并制成了离子型声子晶体。综上所述 各种波在相应的周期性结构中传播具有共性,即能谱会呈现带结构。 在前面的讨论已经知道,波矢k和k+—n这两个状态是等价的。这样,任何依赖 于波矢k的可观察的物理量在状态k和k+-n都应具有相同的值,即这些物理量在波 矢空间应是周期函数,其周期为一个倒格矢。对于能量,我们就有 2丌 E(k)=e(k+-n) (644) 由于电子的能带结构是周期函数,故能带结构有三种不同的表示方式。它们都被示 在图64 1、简约布里渊区图式 由于E(k)是以2x/a(即布里渊区大小)为周期的周期函数。我们可把能带约化 到简约布里渊区,即[一一,“]的波矢范围内来表达。这样k为简约波矢,即被限制在第 一布里渊区内,如图64(a)所示。此时E(k)是k的多值函数,为了使k和E(k)一一对 应,也为了区别不同的能带,我们引入能带的的编号n,将不同的能带写成En(k)。这 种表示的特点是在简约布里渊区表示出所有能带,因而可以看出能带结构的全貌,而且 图形紧凑,是表示能带结构最常用的图示方法 2、周期图示 以简约布里渊区图示的每个能带为重复单位,在k空间重现全能带图样,如图64 (b)所示,其特点是在每个布里渊区内表示出所有能带,构成k空间内En(k)的完整 3、扩展布里渊区图示
期场起伏的大小。光子也有类似的情况，由于介质中光子的速度与 εμ 有关，对于非 磁介质，磁导率μ =1，所以光子的速度主要由介电常数ε 决定，如果把两种不同介电常 数的介质材料在空间按一定周期排列，则在其中传播的光子的能量和频率也会呈现带结 构，能量处于“光子禁带”中的光波是严格禁止在介质中传播的。光子禁带的宽度也取 决于周期排列介质起伏的大小，因此，两种介质的介电常数差别越大，光子禁带也越宽。 据此类比，Yablonovitch 和 John 在 1987 年分别独立提出了“光子晶体”这一新概念， 使人们可以象用晶体控制电子运动一样，用光子晶体控制光子运动，这在光通讯等领域 有重要应用。同样的道理，由于声波速度受介质弹性常数影响，因此将介质的弹性常数 也作周期性排列，则在其中运动的声子的能量和频率也会出现声的带结构。只有能量位 于允带中的声子才能在材料中传播，形成“声子晶体”。声子晶体在超声换能器，振荡 器方面可望有重要应用。我国南京大学的学者提出并制成了离子型声子晶体。综上所述， 各种波在相应的周期性结构中传播具有共性，即能谱会呈现带结构。 在前面的讨论已经知道，波矢 k 和 n a k 2π + 这两个状态是等价的。这样，任何依赖 于波矢 k 的可观察的物理量在状态 k 和 n a k 2π + 都应具有相同的值，即这些物理量在波 矢空间应是周期函数，其周期为一个倒格矢。对于能量，我们就有： ) 2 ()( n a kEkE π += （6.44） 由于电子的能带结构是周期函数，故能带结构有三种不同的表示方式。它们都被示 在图 6.4。 1、简约布里渊区图式 由于 E ( k )是以 2π a （即布里渊区大小）为周期的周期函数。我们可把能带约化 到简约布里渊区，即 ],[ aa π π − 的波矢范围内来表达。这样 k 为简约波矢，即被限制在第 一布里渊区内，如图 6.4（a）所示。此时 E(k)是 k 的多值函数，为了使 k 和 E(k) 一一对 应，也为了区别不同的能带，我们引入能带的的编号 n，将不同的能带写成 。这 种表示的特点是在简约布里渊区表示出所有能带，因而可以看出能带结构的全貌，而且 图形紧凑，是表示能带结构最常用的图示方法。 kE )( n 2、周期图示 以简约布里渊区图示的每个能带为重复单位，在 k 空间重现全能带图样，如图 6.4 （b）所示，其特点是在每个布里渊区内表示出所有能带，构成 k 空间内 的完整 图象。 kE )( n 3、扩展布里渊区图示 12