第2节自由出现和约束出现 第3章一阶逻辑的语言 3.每个元素都有逆 va(b(a+b≈e) 4.如果群的运算还满足交换律,即 vavb(a+b≈b+a) 则这样的群称为交换群或阿贝尔群。 环的语言对群的语言扩张得到环论语言R≈{e,+,}。除了以上四条公理外,环论 的公理还包括 5.乘法结合律。 Varvel(a·(b·c)≈(a·b)·c) 6.乘法对加法的分配律。 Abyc(a·(b+c)≈a·b+a·c) 第2节自由出现和约束出现 接下来我们讨论语法中另一个现象:变元的自由出现和约束出现。在数学中,一个表 达式常常含有两类不同的变元,例如,f(x,t)d,∑1a1等。在积分的例子中,变元x 和t所起的作用是不同的;在求和的例子中,变元n和i的作用也不同。变元t和主要 起的是占位的作用,也有人管它们叫“哑元”。哑元可以被替换成任意“新的”变元而不 影响公式的意义,比如∑h=1a1和∑1a意义完全相同。而例中变元x和n则不能被随 便替换。逻辑中,约束变元就与哑元类似 直观上说,一个变元是自由的如果没有任何量词“管”着它。更准确地说,我们递归 地定义“变元x在公式a中自由出现”如下: 如果a是一个原子公式,则x在a中自由出现当且仅当x在a中出现。 2.如果a为(3),则x在a中自由出现当且仅当x在B中自由出现 3.如果a为(→7),则x在a中自由出现当且仅当x在β中自由出现或在?中自由 出现。 如果a为v2B,则x在a中自由出现当且仅当x在B中自由出现并且x≠v2
第 2 节 自由出现和约束出现 第 3 章 一阶逻辑的语言 3. 每个元素都有逆元。 ∀a(∃b(a + b ≈ e))。 4. 如果群的运算还满足交换律，即 ∀a∀b(a + b ≈ b + a)。 则这样的群称为交换群或阿贝尔群。 环的语言 对群的语言扩张得到环论语言 R ≈ {e, +, ·}。除了以上四条公理外，环论 的公理还包括： 5. 乘法结合律。 ∀a∀b∀c(a · (b · c)) ≈ (a · b) · c)。 6. 乘法对加法的分配律。 ∀a∀b∀c(a · (b + c) ≈ a · b + a · c)。 第 2 节 自由出现和约束出现 接下来我们讨论语法中另一个现象：变元的自由出现和约束出现。在数学中，一个表 达式常常含有两类不同的变元，例如，∫ 1 0 f(x, t)dt， ∑n i=1 ai 等。在积分的例子中，变元 x 和 t 所起的作用是不同的；在求和的例子中，变元 n 和 i 的作用也不同。变元 t 和 i 主要 起的是占位的作用，也有人管它们叫“哑元”。哑元可以被替换成任意“新的”变元而不 影响公式的意义，比如 ∑n i=1 ai 和 ∑n j=1 aj 意义完全相同。而例中变元 x 和 n 则不能被随 便替换。逻辑中，约束变元就与哑元类似。 直观上说，一个变元是自由的如果没有任何量词“管”着它。更准确地说，我们递归 地定义“变元 x 在公式 α 中自由出现”如下： 1. 如果 α 是一个原子公式，则 x 在 α 中自由出现当且仅当 x 在 α 中出现。 2. 如果 α 为 (¬β)，则 x 在 α 中自由出现当且仅当 x 在 β 中自由出现。 3. 如果 α 为 (β → γ)，则 x 在 α 中自由出现当且仅当 x 在 β 中自由出现或在 γ 中自由 出现。 4. 如果 α 为 ∀viβ，则 x 在 α 中自由出现当且仅当 x 在 β 中自由出现并且 x ̸= vi。 6
第3章一阶逻辑的语言 第2节自由出现和约束出现 在a中出现的变元如果不是自由出现,则被称为约束出现1。 如果在公式a中没有变元自由出现,则称α为一个闭公式或语句。 分清楚自由变元与约束变元之后,我们引进一个关于替换的表达式,这在后面会经常 用到。我们用a(也有的书用a(x|t)等不同记号)表示在公式a中将变元x在其自由 出现的地方用项t替换后得到的公式。a也可以用递归的方法定义如下 (1)如果a是原子公式,则a将a中所有的x用t替换所得的表达式。 (2)(-a)=(-az) (3)(a→B)2=( →6 (4)(Vya)f is wy(a2),如果x≠v; vya,如果x 约東出现, bounded occurrence,也被译作“受囿出现
第 3 章 一阶逻辑的语言 第 2 节 自由出现和约束出现 在 α 中出现的变元如果不是自由出现，则被称为约束出现 1 。 如果在公式 α 中没有变元自由出现，则称 α 为一个闭公式 或语句 。 分清楚自由变元与约束变元之后，我们引进一个关于替换的表达式，这在后面会经常 用到。我们用 α x t （也有的书用 α(x | t) 等不同记号）表示在公式 α 中将变元 x 在其自由 出现的地方用项 t 替换后得到的公式。α x t 也可以用递归的方法定义如下： (1) 如果 α 是原子公式，则 α x t 将 α 中所有的 x 用 t 替换所得的表达式。 (2) (¬α) x t = (¬α x t )。 (3) (α → β) x t = (α x t → β x t )。 (4) (∀yα) x t is { ∀y(α x t ), 如果 x ̸= y； ∀yα, 如果 x = y。 1约束出现，bounded occurrence，也被译作“受囿出现” 7