11a12…··a1n a21a22…··a2 aml am2 amn 称为一个m×n矩阵( matrix),其中a;称为A 的(i,j)-元素。若m=n则A称为m阶方阵 n=1的矩阵通常叫做(m阶)列向量。 m=1的矩阵通常叫做(n阶)行向量
A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · am1 am2 · · · amn ¡ m × n Ý (matrix)§Ù¥ aij ¡ A (i, j)-"em = n K A ¡ n " n = 1 Ý Ï~£m ¤þ" m = 1 Ý Ï~£n ¤1þ" 1
两个特殊的矩阵: 1)所有元素全是零的m×m矩阵,记作0mxm, 有时简记作0 2) 0 01 001 00 有时见简记作Ⅰ 如果两个矩阵的行数、列数分别相等,并且 对应的元素也相等,则称两个矩阵是相等的
üAÏÝ µ 1¤¤k ´" m×n Ý §P 0m×n, k{P 0. 2¤ In = 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · 0 0 · · · 1 , k{P I. XJüÝ 1ê!ê©O §¿ éA §K¡üÝ ´ " 2
运算 1)加法; 2)数乘; 3)乘法: mxp= amxn b n×p Ci=2aikbk
$µ 1¤\{¶ 2¤ê¦¶ 3¤¦{µ Cm×p = Am×nBn×p. cij = X n k=1 aikbkj. 3
课堂练习 p.60:1(3)(4),2(3)(4),3
,öS p.60: 1(3)(4),2(3)(4), 3 4
运算法则: 1)乘法结合律 (ABC=ABC), 其中A,B,C分别是m×m,n×p,p×q矩阵 证明:AB的(,k)元素是∑n=10nbk因此(AB)C 的(i,j)元素是 ∑∑ airOrk)Ckj ∑∑anb% k=1r=1 BC的(k,j)元素是∑P=1brC因此A(BC 的(,j)元素是 ∑a∑bc)=∑∑ aik.bkr.Cr,口 k=1 k=1r=1 2)加法分配律:A(B+C)=AB+AC 3)c(AB)=(cA)B=A(cB) 4)ImA=A, AIn= A 方阵的幂:A定义为k个A的乘积
${Kµ 1¤¦{(ÜƵ (AB)C = A(BC), Ù¥ A, B, C ©O´ m × n, n × p, p × q Ý " y²µAB (i, k) ´ Pn r=1 airbrk. Ïd(AB)C (i, j) ´ X p k=1 ( X n r=1 airbrk)ckj = X p k=1 X n r=1 airbrkckj. BC (k, j) ´ Pp r=1 bkrcrj. Ïd A(BC) (i, j) ´ X n k=1 aik( X p r=1 bkrcrj) = X n k=1 X p r=1 aikbkrcrj.✷ 2) \{©Æµ A(B + C) = AB + AC. 3) c(AB) = (cA)B = A(cB). 4) ImA = A, AIn = A. µ Ak ½Â k A ¦È" 5