定义1.设K是一个数域,形为 an c"+an-1r"-+. a1C+ao 的一个表达式称为K上的一个多项式,其 中an,an-1,,a1,ao∈K.当an≠0时m称为 这个多项式的次数。anx称为该多项式的首 项,an称为首项系数。x称为不定元(或变 量)。a0称为常数项。0是一个特殊的多项 式,规定其次数等于 数域K上以x为不定元的多项式全体所构成 的集合记作K[c] 多项式可以简记为f(x),g(x),a(x)等 设∫(x)∈K].则f(x)的次数记作deg(f(x) 或deg(f)
½Â1. K ´ê§/ anx n + an−1x n−1 + · · · a1x + a0 Lª¡ K þõª§Ù ¥an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ K. an 6= 0 n ¡ ùõªgê" anx n ¡TõªÄ §an ¡ÄXê" x ¡Ø½£½C þ¤"a0 ¡~ê" 0 ´AÏõ ª§5½Ùgê u −∞. ê K þ± x ؽõª N¤¤ 8ÜP K[x]. õª±{P f(x), g(x), α(x) " f(x) ∈ K[x]. K f(x) gêP deg(f(x)) ½ deg(f).
多项式之间可以按通常的方式定义加减法和 乘法和乘方。它们满足交换律、结合律、分配 律等 设f(x),g(x)∈kr],则f(g(x)也按通常的法 则计算。 deg(fg)= deg(f)+deg(g) 设c∈K,C≠0,f(x)∈K[z],则deg(cf(x) leg deg(f±g)≤max(deg(f),deg(9) 如果f(x),g(x)∈Kx满足f(x)≠0,f(x)g(x) 0则g(x)=0 证明:deg(f)+deg(g)=deg(0)=-∞得deg(g) 如果f(x),9(x),b(x)∈K[满足f(x)≠ f(a)g(c)=f(ah(), g(c)=h(a) 证明:f(x)g(x)-h(x)
õªm±UÏ~ª½Â\~{Ú ¦{Ú¦"§÷vÆ!(ÜÆ!© Æ " f(x), g(x) ∈ K[x], K f(g(x)) UÏ~{ KO" • deg(fg) = deg(f) + deg(g). • c ∈ K, c 6= 0, f(x) ∈ K[x], Kdeg(cf(x)) = deg(f). • deg(f ± g) ≤ max(deg(f), deg(g)). • XJ f(x), g(x) ∈ K[x] ÷v f(x) 6= 0, f(x)g(x) = 0 K g(x) = 0. y²µdeg(f)+deg(g) = deg(0) = −∞ deg(g) = −∞ ✷ • XJ f(x), g(x), h(x) ∈ K[x] ÷v f(x) 6= 0, f(x)g(x) = f(x)h(x), K g(x) = h(x). y²µf(x)[g(x) − h(x)] = 0. ✷
带余除法 定理1.设K是一个数域f(x),g(x)∈k.如 果g(x)≠0则存在唯一的一对多项式q(x),r(x 满足 1)f(x)=9(x)q(x)+7(x) 2)deg(r)< deg(g) q(x)称为商,r(x)称为余式 证明:存在性:对f(x)的次数进行归纳即 唯一性:利用次数
{Ø{ ½n1. K ´ê,f(x), g(x) ∈ K[x]. X J g(x) 6= 0 K3éõª q(x), r(x) ÷v 1) f(x) = g(x)q(x) + r(x); 2) deg(r) < deg(g). q(x) ¡û, r(x) ¡{ª. y²µ35µé f(x) gê?18B= " 5µ|^gê" ✷
例1.设f(x)=2x4-5x+1,g(x)=x2-x+2, 求g(x)除f(x)的商和余式。 求解的方法叫带余除法或长除法( long divi-
~1. f(x) = 2x 4 − 5x + 1, g(x) = x 2 − x + 2, ¦ g(x) Ø f(x) ûÚ{ª" ¦){{Ø{½Ø{£long division¤
作业: p187:1,2,6,7
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