“小球”激发的场强为 E2= k kpπr2,方向由P指向0 和E2的矢量合成遵从平行四边形法则,ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1∑E和空间位 置三角形OP0′是相似的,ΣE的大小和方向就不难确定了 【答案】恒为kpπa,方向均沿0→0′,空腔里的电场是匀强电场。 学员思考〗如果在模型2中的OO连线上O一侧距离O为b(b>R)的地方放一个电量为 q的点电荷,它受到的电场力将为多大? 〖解说〗上面解法的按部就班应用 〖答〗5mkpq(bb-a 、电势、电量与电场力的功 【物理情形1】如图78所示,半径为R的圆环均匀带电,电荷线密度为λ,圆心在O点,过 圆心跟环面垂直的轴线上有P点,PO=r,以无穷远为参考点,试求 P点的电势UP。 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取 个元段△L,它在P点形成的电势 △U=k 环共有2段,各段在P点形成的电势相同,而且它们是标量叠加 【答案】Up= 图 〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q,则U的结论为多少?如果这个总电量的分布 不是均匀的,结论会改变吗? 答p=顶R+;结论不会改变 〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳,总电量仍为Q,试问:(1)当电量均匀分布时,球 心电势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少?(2)当电量不均匀分布时,球心电势为多少?
“小球”激发的场强为 E2 = k 2 2 3 2 r r 3 4 = 3 4 kρπr2 ，方向由 P 指向 O′ E1 和 E2 的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE 的方向如图。又由于矢量三角形 PE1ΣE 和空间位 置三角形 OP O′是相似的，ΣE 的大小和方向就不难确定了。 【答案】恒为 3 4 kρπa ，方向均沿 O → O′，空腔里的电场是匀强电场。 〖学员思考〗如果在模型 2 中的 OO′连线上 O′一侧距离 O 为 b（b＞R）的地方放一个电量为 q 的点电荷，它受到的电场力将为多大？ 〖解说〗上面解法的按部就班应用… 〖答〗 3 4 πkρq〔 2 3 b R − 2 3 (b a) R − 〕。 二、电势、电量与电场力的功 【物理情形 1】如图 7-8 所示，半径为 R 的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在 O 点，过 圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点， PO = r ，以无穷远为参考点，试求 P 点的电势 UP 。 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一 个元段ΔL ，它在 P 点形成的电势 ΔU = k 2 2 R r L + 环共有 L 2 R 段，各段在 P 点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。 【答案】UP = 2 2 R r 2 k R + 〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量 Q ，则 UP 的结论为多少？如果这个总电量的分布 不是均匀的，结论会改变吗？ 〖答〗UP = 2 2 R r kQ + ；结论不会改变。 〖再思考〗将环换成半径为 R 的薄球壳，总电量仍为 Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球 心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？
球内(包括表面)各点电势为多少? 〖解说〗(1)球心电势的求解从略 球内任一点的求解参看图7-5 △U1=kAS=k.A2·=kG△Q5 cOS oL △U2=ko△Q 它们代数叠加成AU=△U1+△U2=ko△Q5 而r1+n2=2Rcos 所以△U=2Rk0△Q 所有面元形成电势的叠加ΣU=2RkσΣ△Q 注意:一个完整球面的ΣΔΩ=4π(单位:球面度sr),但作为对顶的锥角,Σ △Q只能是2π,所以 ∑U=4mRk=kQ R (2)球心电势的求解和〖思考〗相同; 球内任一点的电势求解可以从(1)问的求解过程得到结论的反证。 〖答〗(1)球心、球内任一点的电势均为kQ;(2)球心电势仍为kQ,但其它各点的电 势将随电量的分布情况的不同而不同(内部不再是等势体,球面不再是等势面) 【相关应用】如图7-9所示,球形导体空腔内、外壁的半径分别 为R1和R2,带有净电量+q,现在其内部距球心为r的地方放一个 电量为+Q的点电荷,试求球心处的电势 【解析】由于静电感应,球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球 心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果 根据静电感应的尝试,内壁的电荷量为一Q,外壁的电荷量为 +Q+q,虽然内壁的带电是不均匀的,根据上面的结论,其在球心形 图7-9
球内（包括表面）各点电势为多少？ 〖解说〗（1）球心电势的求解从略； 球内任一点的求解参看图 7-5 ΔU1 = k 1 1 r S = k 1 r · • cos r 2 1 = kσΔΩ cos r 1 ΔU2 = kσΔΩ cos r 2 它们代数叠加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = kσΔΩ + cos r r 1 2 而 r1 + r2 = 2Rcosα 所以 ΔU = 2RkσΔΩ 所有面元形成电势的叠加 ΣU = 2RkσΣΔΩ 注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度 sr），但作为对顶的锥角，Σ ΔΩ只能是 2π ，所以—— ΣU = 4πRkσ= k R Q （2）球心电势的求解和〖思考〗相同； 球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。 〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为 k R Q ；（2）球心电势仍为 k R Q ，但其它各点的电 势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。 【相关应用】如图 7-9 所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别 为 R1 和 R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为 r 的地方放一个 电量为+Q 的点电荷，试求球心处的电势。 【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球 心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。 根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为 +Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形