《物流系统工程》课程教学资源（讲义）马尔科夫预测讲义.doc

马尔柯夫分析预测法在预测分析中，常常需要根据当前的状态和发展趋向预测未来的状态发生的可能性，也就是状态实现的概率，马尔柯夫分析法就是这样一种预测方法。它是以俄国数学家A.A Markov命名的一种方法。马尔柯夫分析预测法是利用概率中马尔柯夫链的基本原理和方法来研究分析经济现象的现状和变化规律，并藉此预测未来现状的预测方法。在生产实践中，应用马尔柯夫分析法可以对企业的规模、市场占有率、服务网点的选择、设备更新等问题进行预测。马尔柯夫将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初始状态和状态之间转移概率的研究，确定状态变化趋势，以预测事物的未来。一、基本摄念： 1.马尔柯夫过程与马尔科夫链马尔柯夫过程是一类重要的随机过程。它的特点是，当过程在时刻所处的状态为已知时，过程在时刻t(Po)所处的状态与过程在。时刻之前的状态无关。马尔柯夫过程的这个特性称为无后效性，又称马尔柯夫性。无后效性举例：假设一部电梯是由进入电梯内的人自行操纵的那么电梯下一步会运行到何处只依糗于当前在电梯内的人的意图而与过去电梯从何而来是无关的：荷花池中一只青蛙：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额己知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。如果马尔柯夫过程的状态和时间参数都是离散的，则这样的过程称为马尔柯夫链，这里 “链”的含义是指，只有在顺序相邻的两个随机变量之间具有相关关系。若随机变量序列红，=，2，m的参数为非负整数，且具有马尔柯夫性，则称这一随机过程为马尔柯夫链。 2.状态与状态转移所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状况。如产品在市场上可能是畅销，也可能是沛销：机器运行可能正常或有故障：对于某地区每年的气候按一定的指标可分为早、涝两种状态等等。不同的事物，不同的预测目的，由不同的状态划分。在预测中，对预测对象状态的划分通常有两大类。一类是预测对象本身有明显的状态界限，则以其界限划分。如：机器有事故状态和正常运行状态：天气有晴、阴、雨状态等等。另一类是根据实际情况人为划分如产品在市场上畅销或滞销的状态可以其市场获利大小划分，获利2000元以下为滞销

马尔柯夫分析预测法在预测分析中，常常需要根据当前的状态和发展趋向预测未来的状态发生的可能性，也就是状态实现的概率，马尔柯夫分析法就是这样一种预测方法。它是以俄国数学家 A. A. Markov 命名的一种方法。马尔柯夫分析预测法是利用概率中马尔柯夫链的基本原理和方法来研究分析经济现象的现状和变化规律，并藉此预测未来现状的预测方法。在生产实践中，应用马尔柯夫分析法可以对企业的规模、市场占有率、服务网点的选择、设备更新等问题进行预测。马尔柯夫将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初始状态和状态之间转移概率的研究，确定状态变化趋势，以预测事物的未来。一、基本概念： 1．马尔柯夫过程与马尔科夫链马尔柯夫过程是一类重要的随机过程。它的特点是，当过程在时刻 t0 所处的状态为已知时，过程在时刻 t（t>t0）所处的状态与过程在 t0 时刻之前的状态无关。马尔柯夫过程的这个特性称为无后效性，又称马尔柯夫性。无后效性举例：假设一部电梯是由进入电梯内的人自行操纵的那么电梯下一步会运行到何处只依赖于当前在电梯内的人的意图而与过去电梯从何而来是无关的；荷花池中一只青蛙.；研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。如果马尔柯夫过程的状态和时间参数都是离散的，则这样的过程称为马尔柯夫链，这里 “链”的含义是指，只有在顺序相邻的两个随机变量之间具有相关关系。若随机变量序列{xn，n=1,2,.,n}的参数为非负整数，且具有马尔柯夫性，则称这一随机过程为马尔柯夫链。 2．状态与状态转移所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状况。如产品在市场上可能是畅销，也可能是滞销；机器运行可能正常或有故障；对于某地区每年的气候按一定的指标可分为旱、涝两种状态等等。不同的事物，不同的预测目的，由不同的状态划分。在预测中，对预测对象状态的划分通常有两大类。一类是预测对象本身有明显的状态界限，则以其界限划分。如：机器有事故状态和正常运行状态；天气有晴、阴、雨状态等等。另一类是根据实际情况人为划分。如产品在市场上畅销或滞销的状态可以其市场获利大小划分，获利 2000 元以下为滞销

2000-5000元为中等，获利5000元以上为畅销。这种划分的数量界限依产品不同而不同也与决策者的决策素质（保守或乐观）有关。状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生改变。如某种产品在市场上本来滞销，但由于销售渠道的畅通或消费者心理的变化，可能使其变为畅销。某产品的销售情况有畅销、滞销两种状态，则状态转移就有4种情形：即由畅销到畅销、由畅销到滞销、由滞销到畅销以及由滞销到滞销。究竞在某时刻发生哪一种状态转移，这完全是随机的。这种过程可用下图所示的状态转移图来表示。 (畅销既然状态的转移是一种随机现象，那么为了对状态转移过程进行定量描述，必须引入状态转移概率的概念。 3.状态转移概率与转移概率矩阵 (回顾：概率论中的条件概率P(B/A),当A、B为两个事件时，它表示事件A出现的情况下，事件B出现的条件概率。当B为事件，A为某种状态时，它反映A状态下事件B 出现的概率。当A、B为两种不同状态，且AB=中，它反映事物有状态A转向状态B的概率) 客观事物可能有1,2，.，n共n种状态，其每次只能处于一种状态，则每一状态都具有个转向（包括转向自身），将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。状态转移概率中最基本的是一步转移概率P(1),它表示由状态1经过一步转移到状态j的概率，也记作P,所以有P(1一)=P1i)=P 所谓状态转移概率，是指从一种状态1转移到另一种状态j的概率，记为P 将事物n个状态的转移概率依次排列，可得一个n×n阶的方阵，称为转移概率矩阵，简称为概率矩阵。 PiP12.P1n 0sm,s1吃n, 概率矩阵的每一行都是概率向量

2000-5000 元为中等，获利 5000 元以上为畅销。这种划分的数量界限依产品不同而不同，也与决策者的决策素质（保守或乐观）有关。状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生改变。如某种产品在市场上本来滞销，但由于销售渠道的畅通或消费者心理的变化，可能使其变为畅销。某产品的销售情况有畅销、滞销两种状态，则状态转移就有 4 种情形：即由畅销到畅销、由畅销到滞销、由滞销到畅销以及由滞销到滞销。究竟在某时刻发生哪一种状态转移，这完全是随机的。这种过程可用下图所示的状态转移图来表示。畅销滞销既然状态的转移是一种随机现象，那么为了对状态转移过程进行定量描述，必须引入状态转移概率的概念。 3．状态转移概率与转移概率矩阵（回顾：概率论中的条件概率 P(B/A)，当 A、B 为两个事件时，它表示事件 A 出现的情况下，事件 B 出现的条件概率。当 B 为事件，A 为某种状态时，它反映 A 状态下事件 B 出现的概率。当 A、B 为两种不同状态，且 AB=Φ，它反映事物有状态 A 转向状态 B 的概率）客观事物可能有 1，2，.，n 共 n 种状态，其每次只能处于一种状态，则每一状态都具有 n 个转向（包括转向自身），将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。状态转移概率中最基本的是一步转移概率 P（j | i），它表示由状态 i 经过一步转移到状态 j 的概率，也记作 Pij，所以有 P（i→j）= P（j | i）= Pij 所谓状态转移概率，是指从一种状态 i 转移到另一种状态 j 的概率，记为 Pij。将事物 n 个状态的转移概率依次排列，可得一个 n×n 阶的方阵，称为转移概率矩阵，简称为概率矩阵。             = n n nn n n p p p p p p p p p P . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 =   = n j pij pij 1 0 1 且 1 概率矩阵的每一行都是概率向量

概率矩阵的两个基本性质：性质 1 则也是一个维概率向量。若是一个维概率向量，为一个阶概率在矩阵， uP n u = (u1 ,u2 ,.,un ) n P = [pi j] n 如：设 u =（0.4，0.6），       = 0.3 0.7 0 1 P 则有 ( ) (0.18 0.82) 0.3 0.7 0 1 0.4 0.6 =      uP = 显然，uP 为一概率向量。性质 2 若 A = aij nn B = bij nn [ ] ， [ ] 都是 n 阶概率矩阵，则 AB 也是一个 n 阶的概率矩阵。如：设       =       = 0.4 0.6 1 0 0.5 0.5 0.2 0.8 A ，B ，则有       = 0.70 0.30 0.52 0.48 AB 显然，AB 为一概率矩阵。 4．k 步状态转移概率矩阵马尔柯夫链是一个离散的随机状态时间序列，序列中的每个状态可以认为是过程的一个阶段，第 k 个阶段发生的概率可以根据第 k-1 个阶段状态发生的概率来确定。因此，可以根据概率论中条件概率的运算法则，由第 k-1 阶段的状态概率去推算第 k 阶段的状态概率，然后可由第 k 阶段的状态概率推算第 k+1 阶段的状态概率，依次类推。这样的过程称为马尔柯夫链分析。因此，马尔柯夫链分析的关键在于确定从第 i 个状态，中间经过 k 个阶段（即 k 步转移）后，到达第 j 个状态的概率 (k ) pij 。于是马尔柯夫链的第 k 步状态转移概率矩阵可表示为               = ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 1 ( ) k n n k n k n k n k k k n k k k p p p p p p p p p P       下面通过一个具体的实例说明 k 步状态转移概率矩阵的具体求法。例如某机床的使用情况有正常和不正常两种状态。根据以往资料，若该机床当天运转正常，则下一天运转正常的概率为 0.8，变为不正常的概率为 0.2；若该机床当天运转不正常，则下一天转为正常的概率为 0.6，仍为不正常的概率为 0.4

(2) (2) 2 2 (2) 2 1 (2) 1 2 (2) 1 1 2 0.72 0.28 0.76 0.24 0.6 0.4 0.8 0.2 0.6 0.4 0.8 0.2 P p p p p P =         =         =                = 一般地，有     = = = ( ) ( −1) , 1,2, ( ) P P P k P P k k k k 例如，上面的问题中由第一天到第四天的 3 步状态转移概率矩阵为         =                = = = 0.744 0.256 0.752 0.248 0.6 0.4 0.8 0.2 0.72 0.28 0.76 0.24 (3) 3 (2) P P P P 由此可见，只要已知系统的概率矩阵 P，则从某一状态经 k 步后的状态转移概率矩阵 (k ) P 即可求得，由此便可对系统状态的发展趋势作出预测。 5.稳定状态概率向量马尔柯夫 k 步状态转移概率矩阵有一个重要的特征，即就是当转移步数 k 逐步增高时，状态转移概率矩阵逐步趋于稳定。例如上面的问题中         = 0.6 0.4 0.8 0.2 (1) P ，         = 0.72 0.28 0.76 0.24 (2) P ，         = 0.744 0.256 0.752 0.248 (3) P         =                =         =                = 0.74976 0.25024 0.75008 0.24992 0.6 0.4 0.8 0.2 0.7488 0.2512 0.7504 0.2496 0.7488 0.2512 0.7504 0.2496 0.6 0.4 0.8 0.2 0.744 0.256 0.752 0.248 (5) (4) P P 显然，经过四步转移之后已大致趋于稳定，也就是说，状态转移次数再增大，状态转移概率矩阵的变化很小，并逐渐趋于稳定状态转移概率矩阵。         = = →+ 0.75 0.25 0.75 0.25 lim (k ) k S P 且为整数由此可见，稳定状态转移矩阵的概率向量相同。我们把这样的概率向量称为稳定状态概率向量。上面的结果表明，不管初始状态如何，经过若干阶段以后，各状态发生的概率趋于稳定，即机床正常运转的概率为 0.75，不正常的概率为 0.25。为了确定状态概率向量，现引入正规概率矩阵的概念。设 P = pij nn ( ) 是一个概率矩阵，且存在一个正数 k 使矩阵 k P 中的每个元素均是正数，则称 P 为一个正规概率矩阵。例如设有概率矩阵