第5页 函数的解析性,是一个很高的要求,这表现为解析函数具有一系列的重要性质.讨论解析函 数的各种特殊性质,就是复变函数论的中心课题 函数的解析性,总是和一定的区域联系在一起的 函数在某点解析”,应理解为函数在该点及其邻域内处处可导 如果 个函数在某点20无定义, ·或者在20虽有定义但不可导, 或者在20虽可导但不解析 则20称为函数的奇点.例如,z=0就是函数=1/z的奇点 如果要讨论函数f(2)在z=∞点是否解析,则需作变换t=1/z,然后讨论函数f(1/t)在 t=0点是否解析即可
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823初等函数 ★幂函数zn ★指数函数e ★三角函数sinz,cosz ★双曲函数 sinh z, cosh z 它们都可以看成是相应实变函数在复数域中的推广 如何将相应实变函数推广到复数域 ·这些函数的解析性 ·这些函数作为复变函数所特有的性质 幂函数zn ·当n=0.,1,2,…时,zn在全平面解析,且当n=1,2,…时,z=∞是奇点 当n=-1,-2,-3,……时,zn除z=0外处处解析,在z=∞也解析 ★指数函数e2 e2=etly=e"(cosy +isin y) 指数函数实部 指数函数虚部
§2.3 Ô Õ ✆ ✝ ✞ 6 ✟ §2.3 Ö × Þ ✑ F Ø✦✧ z n F Ù✧✦✧ e z F ÚÛ✦✧ sin z, cos z, · · · F Ü ❿ ✦✧ sinh z, cosh z,· · · F · · · · · · ➇➈➱ ✱✽Ý✿✚⑨❐➠ ✻✦✧✫❒✧✜ ❁ ✣➩Þ✳ • ✩ß q ⑨❐➠ ✻✦✧➩Þ❸❒✧✜ • ➅à ✦✧✣âã❅ • ➅à ✦✧❉✸❒✻✦✧✐ ② ➲✣❅➹ F á❹ ✘ z n • ➉ n = 0, 1, 2, · · · â★ z n ✫❩❼❽âã★❙ ➉ n = 1, 2, · · · â★ z = ∞ ✚Ò✭✳ • ➉ n = −1, −2, −3, · · · â★ z n ã z = 0 ä➸➸âã★✫ z = ∞ ❱âã★ (z n ) 0 = nzn−1 . F å ✘ ❹ ✘ e z e z = ex+iy = ex (cos y + i sin y). æ ÔçÔèé æ ÔçÔêé