3.对称变换 方问主页 欧氏空间V上的线性变换A称为对称变换,如果对于 任意的a,B∈V,都有(A(a),)=(a,4(/) 第顾烈 全屏 联
定理9 设A是η维欧氏空间V上的线性变换,则下列命题等 价 (1)A是对称变换 方问主页 (2)A在任意标准正交基下的矩阵是对称阵 (3)4在某一个标准正交基下的矩阵是对称阵; (4)对于V的标准正交基=1,2,……,m,有((E1),E 用顾共 (E1,A(=),1≤i,j≤m. 全屏 联
定理10 (1)对称矩阵的特征根都在实数域上; 方问主页 (2)对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交. (3)设A是n维欧氏空间V上的对称变换,V是4子空 间则V也是A子空间 用顾共 全屏 联
定理11 (1)对于任意一个n阶对称矩阵A,都存在一个正交矩 方问主页 阵T,使得T-1AT=TAT成对角阵. (2)设A是n维欧氏空间V上的对称变换,则存在标准 正交基,使得A在此基下的矩阵是对角阵 用顾共 全屏 联
(1)( Cauchy不等式)a,≤o.当且仅当a,线 方问主页 性相关时,等号成立; (2)(三角不等式)a+B≤al+|6l 顾共 全屏 联