理4. RXn上两个矩阵正交相似的充分必要条件是它们 正 交基下的矩阵. 两个欧氏空间称为同构,如果存在线性映射A:V 方问主页 W,使得A作为线性空间是同构映射且对任意的a,B∈ V,都有(4(a),A()=(a,B) 定理5 有限维欧氏空间V和U同构的充分必要条件 是dimv=dimU 全屏 联
2.正交变换 方问主页 欧氏空间V上的线性变换A称为正交变换,如果 都 有(A(a),A(6)=(a, 全屏 联
定理6 设A是n维欧氏空间V上的线性变换,则下列命题等 价 (1)4是正交变换; 都 有|A(a)=lal; 方问主页 (3)A保持向量的距离不变,即对于任意的aB∈V, 都有|A(a)-A()=a-6l (4)A保持标准正交基不变 (5)4是V到V作为欧氏空间的同构; 用顾共 (6)4在任意标准正交基下的矩阵是正交阵 (7)A在某一个标准正交基下的矩阵是正交阵 全屏 联
定理7 (1)正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵;正交矩阵的乘积 是正交矩阵 方问主页 (2)设A是m维欧氏空间V上的正交变换,V的子空 间W是A子空间,则也是A空间 (3)正交矩阵的特征根(在R上)的模长为1. 第4顾烈 全屏 联
定理8 设A是n维欧氏空间V上的正交变换,则存在标准正 方问主页 交基,使得A在此基下的矩阵是 coSal -sinal COSt -SInal SIno COSa SIna CSCL 第顾烈 全屏 联