1.2童子力学基本假设科学理论是从火量实践中总结出来的，再经过实践的检验，证·明它符合客观的规律，这个理论才能成立。例如热力学的三个基本定律，牛顿力学的三个定律等都是经过实践检验的客观规律。量子力学是描述微观粒子运动规律的科学。电子和其他微观粒子不仅表现出粒性，而且表现出波性，它不服从经典力学的规律。经典力学是总结宏观物体的运动规律而建立的，它不能应用于微观体系。微观体系遵循的规律叫量子力学，因为它的主要特点是能量量子化和运动的波性。量子力学的基本原理是根据微观粒子的波性，经过许多科学家［如E.Schrodinger，W.Heisenberg，M.Born以及P.A,M.Dirac（狄拉克）等］的大量工作总结出来的，它是自然界的基本规律之一。量子力学包含若于基本假设，从这些基本假设出发，可推导出一些重要结论，用以解释和预测许多实验事实。经过半个多世纪实践的考验，说明作为量子力学理论基础的那些基本假设是正确的。下面介绍量子力学的基本假设以及由这些假设引出的基本原理。-1-波函数和微观粒子的状态假设1对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数（α，y，之，t)表示。亚是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间的函数。：例如对一个两粒子体系，重一±(1,31,21,±2.32,z2,t),其中1,y1，1是粒子1的坐标；22，y2是粒子2的坐标；是时间。亚的形式可由光波推演而得，根据平面单色光的波动方程：量=Aexp[i2元（x/a一t）]，将波粒二象性关系E一h，p=h/a代，入，得单粒子一维运动的波函数重=Aexp[(i2元/h)(αp,-Et)](1. 12)16
不含时间的波函数山，，之）称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数，后面的都是指定态波函数，y，）。中一般是复数形式：中一f十ig，f和g是坐标的实函数。中的共轭复数定义为出一f一ig。为了求只需在中中出现i的地方都用一i代替即可。由于4Φ=(f-ig)(f十ig)=f+g(1.13)因此中中是实数，而且正值。为了书写方便，有时也用好代替中中,出由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于虫中，所以通常将用波函数出描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将中称为原子轨道或分子轨道，将中中称为几率密度，它就是通常所说的电子云d为空间某点附近体积元dz中电子出现的几率。用量子力学处理微观体系时，要设法求出函数的具体形式。虽然不能把虫看成物理波（如电场或磁场的波动），但更是状态的一种数学表示，能给出关于体系状态和该状态各种物理量的取值及其变化的信息，对了解体系的各种性质极为重要。例如氢原子1s态的波函数为exp[-r/ao]中一Vnas这是将氢原子核放在极坐标系的原点时，描述电子运动状态的波函数。式中r表示电子离核的距离，a。一52.92pm，称玻尔半径。g一exp[-2r/a.]好为氢原子1s态的几率密度，即电子云的分布。体系处在该状态的各种物理性质，如能量、动量、角动量等一系列物理量可由Φ求得（见假设Ⅱ）。中文，y，）在空间某点的数值，可能是正值，也可能是负值，微粒的波性通过出的十、一号反映出来，这和光波是相似的。17
中的性质与它是奇函数还是偶函数有关，偶函数：(,y,）(α，y，)奇函数：,），)波函数的奇、偶性是具有波性的微观粒子的重要性质，涉及微粒从一个状态族迁至另一个状态的几率性质等。由上可见，描述微观粒子运动状态的波函数更，对了解该体系的性质和运动规律是十分重要的，因为它全面地规定了体系的各种性质，它并不局限于只和某一个物理量相联系。有人认为本身没有什么物理意义，它的物理意义要通过出来体现。这种理解带有局限性，只看到了的性质，即只看到中性质的一个侧面。其实，虫和体系的各种性质都有联系，而不局限在电子云这一点上。由于波函数描述的波是几率波，所以波函数中必须满足下列三个条件：（1）波函数必须是单值的，即在空间每一点只能有一个值；（2）波函数必须是连续的，即中的值不出现突跃；对，3，2的一级微商也是连续函数；（3）波函数必须是平方可积的，即在整个空间的积分为一个有限数，通常要求波函数归化，即4"yd= 1(1.14)符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优波函数。-2力学量和算符假设Ⅱ对一个微观体系的每个可观测的力学量都对应着一个线性自轭算符。对某一函数进行运算操作，规定运算操作性质的符号称为算d符，例如是，sin,log等等。在量子力学中，为了和用波函数作为描述状态的数学工具相适应，以算符作为表示力学量的数学工具。体18
系的每个可观测的力学量和一个线性自轭算符相对应。线性算符是指算符满足下一~条件A(y+)=Ad+Ag(1.15)自轭算符是指算符A能满足Adt山（A）d或Ad[(A)'dt(1. 16)例如，A-i是i，=exp[ir]，=exp[ix],则Jexp[in(i)exp[iz]dz jexp[i()exp[iz) d量子力学需要用线性自轭算符，是使和算符对应的本征值能为实数（见假设Ⅱ）。若干力学量对应的算符列于表1.1中。表1.1若干力学量及其算符算力学量符位置2=x1动量的ihaprb-轴分量2元a角动量的M,=spy"ypsii！aaM.-2元（）之轴分量h?32a32T=动能T=p2/2maya28xm2r2h2728元m势能VV-VA2H=总能E-T-V2+V8元m19
表1.1所列的算符中，动量的又轴分量力所对应的算符力至关重要，其米源可从下面的推演过程理解，注意这种推演只是说明假设是怎样提出来的，而不是-一种严格的证明。按（1.12）式[i2 (p.Et)重=Aexp微分，得ayP[(ap-E)][(p-E)]Aexparhi2元pyhinaypay2元axihapr=可见(1. 17)2元ax动量沿轴和轴的分量pp，角动量沿轴的分量M，动能T等的算符形式即可根据（1.17）式推演得到，所以为了获得相应物理量的算符，首先是为该物理量写出包含坐标g（即，y，2）和动量沿坐标Q的分量P。的经典表达式，然后以ihag=q.=2元ag代入，整理、化简即得。算符和波函数的关系是一种数学关系，通过算符的运算可获得有关微观体系的各种信息。实践证明利用算符和波函数能正确地描述微观体系的状态和性质。-3-本征态，本征值和Schridinger方程假设Ⅲ若某一力学量A的算符A作用于某一状态函数中后，等于某一常数a乘以中，郎Ap=ay(1. 18)那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的20