依据条件(2),可以依次确定系数cnc1,cn,例如, 取x=xm,1得co=Nn(x)=f(x) 取x=x1,得 =C +c,(x (x1)-Co_f(x1)-f(x) X-X 取x=x2得 N(x2)=+c(x2-x)+c(20x2-x)=(x)
依据条件(2),可以依次确定系数c0 ,c1 ,…,cn..例如, 取x=x0 ,,得 取x=x1 ,得 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) N x c f x f x n c x x x x − − = = − − 0 0 0 ( ) ( ) n c N x f x = = 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) N x c c x x f x n = + − = 取x=x2 ,得 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2 c c x x c x x x x f x + − + − − = ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) N x n =
f(x1)-f(x) f(x,)-f(ro N(x1)-C0-C(x2-x) (, -rox,r) (x2-x)x2-x) f(x1)-f(x) f(x)-(x) (x)-f((2 x1-x0 (x2-x)( f(r2)-f(x,f(x)-f(x x2-x1 x 为了得到计算系数c的一般方法,下面引进差商的概念
. 1 0 2 0 2 0 2 0 1 2 0 1 0 2 2 0 2 1 2 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) n f x f x f x f x x x N x c c x x x x c x x x x x x x x − − − − − − − − = = − − − − 1 0 1 0 2 1 1 0 2 0 1 0 1 0 2 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x − − − + − − − − − = − − 2 1 1 0 2 0 2 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x x x x x x x − − = − − − − 为了得到计算系数ci的一般方法,下面引进差商的概念.
二差商的定义 给定|a,b中互不相同的点x0x1x2,,以及几x)在这些点处相 应的函数值f(x0)f(x1)2f(x2),…,用记号 f(x0)-f(x1) XI Xo-x1 表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商用记号 f[x0,x1x2] f[x0,x一f[x1,x2 表示fx)在x0x1x2三点的二阶差商一般地,有了k-阶差商之后, 可以定义fx)在x0x1yx的阶差商
二 差商的定义 给定[a,b]中互不相同的点x0 ,x1 ,x2 ,…,以及f(x)在这些点处相 应的函数值f(x0 ),f(x1 ),f(x2 ),…,用记号 表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 表示f(x)在x0 ,x1 ,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0 ,x1 ,..,xk的k阶差商 0 1 0 1 0 1 ( ) ( ) [ , ] f x f x f x x x x − = − 0 1 1 2 0 1 2 0 2 [ , ] [ , ] [ , , ] f x x f x x f x x x x x − = −
f[o,x,,,xkI-f[,x2, .,xI 三 Newton插值公式 由差商定义,有 f(x)=fxo+(x-xorflxs ol fx,=foxx+(x-xiflx, xoxxll fx, xox-fxoi2+(x-x2fxrorrir2I fx,x0,…xnl=f{x0,…yxnl+(xxn/lx, 将以上各式,由下而上逐步代入,得到 f(r)=fxo+(x-xofxo+(x-xo(x-xufroirr2I +…+(x-x0)…、(x-xn1)x1,…,xnl +(x-x0)…(x-xn1)(x-xn)/x,x0…xl
0 1 1 1 2 0 1 0 [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] k k k k f x x x f x x x f x x x x x − − = − 三 Newton插值公式 由差商定义,有 f(x)= f[x0 ]+(x-x0 )f[x,x0 ] f[x,x0 ]= f[x0 ,x1 ]+(x-x1 )f[x,x0 ,x1 ] f[x,x0 ,x1 ]= f[x0 ,x1 ,x2 ]+(x-x2 )f[x,x0 ,x1 ,x2 ] ……….. f[x,x0 ,…xn-1 ]= f[x0 ,…,xn ]+(x-xn )f[x,x0 ,….,xn ] 将以上各式，由下而上逐步代入，得到 f(x)= f(x0 )+(x-x0 ) f[x0 ,x1 ]+(x-x0 )(x-x1 ) f[x0 ,x1 ,x2 ] +…+(x-x0 )…(x-xn-1 ) f[x0 ,…,xn ] +(x-x0 )…(x-xn-1 )(x-xn )f[x,x0 ,…xn ] (5)