对于改进的 Euler方法 vi=y,+lf(ri, y)+f(;, y)+h(;, y) +b(x,y)f(x2y)+0(2 y+(x,y)+[2(x,y)+f(x,y)(x,y +O(h)
1 2 2 3 [ ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( )] ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )] 2 ( ). i i i i i i x i i i i y i i i i i x i i i i y i i h y y f x y f x y hf x y hf x y f x y O h h y hf x y f x y f x y f x y O h + = + + + + + = + + + + 对于改进的Euler方法
整体截断误差 对于数值方法 yn13y2+h(x1,y1,h),(2) 其整体截断误差为 E1=y(x1)-y1=y(x)-Dy+h(x,y2h
整体截断误差 1 1 1 1 1 ( , , ),(2) ( ) ( ) [ ( , , )]. i i i i i i i i i i i y y h x y h E y x y y x y h x y h + + + + + + = − = − + 对于数值方法 = 其整体截断误差为
Th若数值方法(2)的局部截断误差e1=O(hp+) (即|e1|≤Mh),且>0使得 0(x,y,h)-y(x,=,b)≤Dy-=,vy,∈R 则(2)的整体截断误差满足 E川|≤ebE0+[e0-1
1 1 1 1 ( ) ( ) 1 0 . ( ) 0 ( , , ) ( , , ) , , . [ 1]. p i p i p L b a L b a i Th e O h e Mh L x y h x z h L y z y z R Mh E e E e L + + + + − − + = − − + − 若数值方法(2)的局部截断误差 截断误差满足 (即 ),且 使得 则(2)的整体
证∷y(x1)=y(x)+hy(x2y(x1),h) i+1. 与(2)相减得到 i+1 i+1 y(x1)-y1+h(x,y(x),h)-(x2,y1,h)+e+1 EH1|≤(+hL)E|+Mmh ≤(1+hL)2E1+[(1+h)+11MhP+1 ≤(1+h)E0+[(1+ML)+…+1Mh 定理显然得证
1 1, 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( , ( ), ) ( ) ( ) [ ( , ( ), ) ( , , )] . (1 ) (1 ) [(1 ) 1] (1 ) [(1 ) 1] , i i i i i i i i i i i i i i i p i i p i N N p y x y x h x y x h e E y x y y x y h x y x h x y h e E hL E Mh hL E hL Mh hL E hL Mh + + + + + + + + + − − + = + + = − = − + − + + + + + + + + + + + + 定理显然得证. 证: 与(2)相减得到
8.1.2一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kutt方法 考虑一阶常微分方程初值问题 y'=f(x,y),a<x<b, y(a=yo
8.1.2 一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kutta方法 考虑一阶常微分方程初值问题 0 ( , ), , ( ) , y f x y a x b y a y = =