事模型 Lanchester战争模型 Lanchester提出的模型非常简单,他只考虑双方兵力的多少 和战斗力的强弱,兵力因战斗减员和非战斗减员而减少,又由 后备力量的増援而増加;战斗力即杀伤对方的能力,则与射击 率(单位时间的射击次数)、射击命中率以及战争的类型(正 规战、游击战)等有关。这些模型当然没有考虑交战双方的政 治、经济、社会等因素。而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计 战争胜负的,所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是 不可能的,但是对于局部战役来说或许还有参考价值。更重要 的是,建模的思路和方法为我们借助教学模型讨论社会科学领域 中的实际问题提供了可以借鉴的示例。 教学建模
¯ . ØÉì¿m . Lanchester Ô . ¿m . Lanchester Ô . Lanchester JÑ .~{ü§¦ÄVWåõ ÚÔÌårf§ WåÏÔÌ~ ÚÔÌ~ ~§qd åþO O\¶ ÔÌå=àúéUå§K ǣü mÂgê¤!·¥Ç±9Ôa. £ 5Ô!iÂÔ¤ k'"ù .,vkÄÔV £!²L! ¬ Ï" =Ô|þWå`´éJO ÔK§ ¤±·@^ù .äÔ(Û´ ØU§´éuÛÜÔ¸5`½Nkëd" ´§ï g´Ú{·/ÏêÆ .?جÆ+ ¥¢S¯KJø ±/«~" IEÆ êÆï
事模型 一般战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方时刻t的兵力,不妨视为 双方的士兵人数。假设 1.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力, 用f(x,y)和9(x,y)表示。 2.每一方的非战斗减员率(由疾病、逃跑等因素引起)与本方 的兵力成正比。 3.每一方的增援率是给定的函数,用u(t)和v(t)表示。 教学建模
¯ . ØÉì¿m . Lanchester Ô . ¿m . Ô . ^ x(t) Ú y(t) L«`¯ÔV t Wå§ØÀ V¬W<ê"b 1. zÔÌ~ ÇûuVWåÚÔÌå§ ^ f(x, y) Ú g(x, y) L«" 2. zÔÌ~ Ç£d;¾!< ÏÚå¤ Wå¤'" 3. zOÇ´½¼ê§^ u(t) Ú v(t) L«" IEÆ êÆï
事模型 由此可以写出关于x(t),y(t)的微分方程为 i(t) f(a, y)-ar+u(t),a>0 i(t) g(a, y)-By +u(), B>0 (1) 教学建模
¯ . ØÉì¿m . Lanchester Ô . ¿m . dd±Ñ'u x(t), y(t) ©§ x˙(t) = −f(x, y) − αx + u(t), α > 0 y˙(t) = −g(x, y) − βy + v(t), β > 0 (1) e¡éØÓÔa.?ØÔÌ~ Ç f!g äNL« /ª§¿©ÛKÔ(ÛÏ" IEÆ êÆï
事模型 由此可以写出关于x(t),y(t)的微分方程为 i(t) f(a, y)-ar+u(t),a>0 i(t) g(a, y)-By +u(), B>0 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率∫、9的具体表示 形式,并分析影响战争结局的因素。 教学建模
¯ . ØÉì¿m . Lanchester Ô . ¿m . dd±Ñ'u x(t), y(t) ©§ x˙(t) = −f(x, y) − αx + u(t), α > 0 y˙(t) = −g(x, y) − βy + v(t), β > 0 (1) e¡éØÓÔa.?ØÔÌ~ Ç f!g äNL« /ª§¿©ÛKÔ(ÛÏ" IEÆ êÆï
事模型 正规战争模型 甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的战斗减员 率f(x,y) 教学建模
¯ . ØÉì¿m . Lanchester Ô . ¿m . 5Ô . `¯VÑ^5ÜèÔ"·L©Û`ÔÌ~ Ç f(x, y). `¬Wúm¹Ä§?u¯z¬WiÀÚàú S§`,¬Wàú§ ¯»åá=8¥3Ù{ ¬W þ§¤±`ÔÌ~ ǯWåk'§±{ü / f y ¤'§ = f = ay©a L«¯²þz¬Wé` ¬WàúÇ£ü màúꤧ¡¯ÔÌkX ê" a ±?Ú©) a = rypy§Ù¥ ry ´¯ÂÇ £z¬Wü mÂgê)§ py ´zg·¥Ç" IEÆ êÆï