第五章导数与微分 重点：导数的概念与计算： 难点：复合函数的微分法。 第一节导数的概念 1.导数的概念 2.导函数 3.导数的几何意义 具体要求：理解导数的概念和产生背景，理解导数的几何意义，了解导数的物理意义。 第二节求导法则 1.导函数的四则运算 2.反函数的导数 3.复合函数的导数 4.基本求导法则与公式 具体要求：熟练地运用求导法则、求导公式求函数的导数，特别是复合函数的求导法则的运用， 知道反函数的求导法则。 第三节参变量函数的导数 1.参变量函数的求导法则 具体要求：会用参变量函数的求导法则求参变量函数的导数。 第四节高阶导数 1.高阶导数的概念 2.高阶导数的莱布尼兹公式 具体要求：会求函数的高阶导数。 第五节微分 1.微分的概念 2.微分的运算法则 3.高阶微分 4.微分在近似计算中的应用 具体要求：深刻理解微分的概念，熟练地掌握微分法则，能运用微分进行近似计算与误差估计。 第六章微分中值定理及其应用 重点：中值定理： 难点：中值定理的应用。 第一节拉格朗日定理和函数的单调性 1.罗尔定理与拉格朗日定理 2.单调函数
5 第五章 导数与微分 第一节 导数的概念 1. 导数的概念 2. 导函数 3. 导数的几何意义 具体要求：理解导数的概念和产生背景，理解导数的几何意义，了解导数的物理意义。 第二节 求导法则 1. 导函数的四则运算 2. 反函数的导数 3. 复合函数的导数 4. 基本求导法则与公式 具体要求：熟练地运用求导法则、求导公式求函数的导数，特别是复合函数的求导法则的运用， 知道反函数的求导法则。 第三节 参变量函数的导数 1. 参变量函数的求导法则 具体要求：会用参变量函数的求导法则求参变量函数的导数。 第四节 高阶导数 1. 高阶导数的概念 2. 高阶导数的莱布尼兹公式 具体要求：会求函数的高阶导数。 第五节 微分 1. 微分的概念 2. 微分的运算法则 3. 高阶微分 4. 微分在近似计算中的应用 具体要求：深刻理解微分的概念，熟练地掌握微分法则，能运用微分进行近似计算与误差估计。 第六章 微分中值定理及其应用 第一节 拉格朗日定理和函数的单调性 1. 罗尔定理与拉格朗日定理 2. 单调函数 重点：导数的概念与计算； 难点：复合函数的微分法。 重点：中值定理； 难点：中值定理的应用
具体要求：深刻理解微分中值定理(Rolle定理、Lagrange定理)的内容与证明方法（辅助函数法）， 并能熟练地运用中值定理处理有关问题，如不等式证明、恒等式的证明等。 第二节柯西中值定理和不定式极限 1.柯西中值定理 2.不定式极限 具体要求：知道Cauchy?定理，能熟练地运用罗必塔法则求不定式极限。 第三节泰勒公式 1.带有佩亚诺型余项的泰勒公式 2.带有拉格朗日型余项的泰勒公式 3.在近似计算上的应用 具体要求：能把某些函数根据不同要求选择余项用泰勒公式展开，会用泰勒公式求不定式的极 限。 第四节函数的极值与最大（小）值 1.极值判别 2.最大值与最小值 具体要求：熟练地运用导数求函数的极值，能运用导数求函数的最大值和最小值。 第五节函数的凸性与拐点 1.凸函数的定义 2.拐点的概念 具体要求：知道凸函数以及拐点的概念，会判断函数在给定区间上的凹凸性。 第六节函数图像的讨论 具体要求：熟练地运用导数研究函数，主要是函数的单调性与极值、函数的凸性与拐点，能描 绘函数的图形。 第七章实数的完备性 重点：完备性概念，聚点定理与柯西准则： 难点：实数完备性定理的等价性证明。 第一节关于实数的完备性的基本定理 1.区间套定理 2.聚点定理与有限覆盖定理 3.实数的完备性基本定理之间的等价性 具体要求：了解实数完备性的基本定理（区间套定理、Cauchy收敛准则、聚点定理与有限覆盖 定理)，知道他们的等价性。能够运用实数完备性的基本定理证明闭区间上连续函数的性质。 第八章不定积分 6
6 具体要求：深刻理解微分中值定理(Rolle定理、Lagrange定理)的内容与证明方法（辅助函数法）， 并能熟练地运用中值定理处理有关问题，如不等式证明、恒等式的证明等。 第二节 柯西中值定理和不定式极限 1. 柯西中值定理 2. 不定式极限 具体要求：知道Cauchy定理，能熟练地运用罗必塔法则求不定式极限。 第三节 泰勒公式 1. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 2. 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 3. 在近似计算上的应用 具体要求：能把某些函数根据不同要求选择余项用泰勒公式展开，会用泰勒公式求不定式的极 限。 第四节 函数的极值与最大（小）值 1. 极值判别 2. 最大值与最小值 具体要求：熟练地运用导数求函数的极值，能运用导数求函数的最大值和最小值。 第五节 函数的凸性与拐点 1. 凸函数的定义 2. 拐点的概念 具体要求：知道凸函数以及拐点的概念，会判断函数在给定区间上的凹凸性。 第六节 函数图像的讨论 具体要求：熟练地运用导数研究函数，主要是函数的单调性与极值、函数的凸性与拐点，能描 绘函数的图形。 第七章 实数的完备性 第一节 关于实数的完备性的基本定理 1. 区间套定理 2. 聚点定理与有限覆盖定理 3. 实数的完备性基本定理之间的等价性 具体要求：了解实数完备性的基本定理（区间套定理、Cauchy 收敛准则、聚点定理与有限覆盖 定理），知道他们的等价性。能够运用实数完备性的基本定理证明闭区间上连续函数的性质。 第八章 不定积分 重点：完备性概念，聚点定理与柯西准则； 难点：实数完备性定理的等价性证明
重点：不定积分的概念与计算： 难点：第一换元法。 第一节不定积分的概念与基本积分公式 1. 原函数与不定积分 2.基本积分表 具体要求：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质和运算法则，记住基本积 分表。 第二节换元积分法和分部积分法 1.换元积分法 2.分部积分法 具体要求：熟练掌握换元积分法和分部积分法。 第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分 1.有理函数的不定积分 2.三角函数有理式的不定积分 3.某些无理根式的不定积分 具体要求：掌握有理函数和三角函数有理式的不定积分法，会计算简单的无理根式函数的不 定积分。 第九章定积分 重点：定积分的概念与计算： 难点：可积条件。 第一节定积分概念 1.问题提出 2.定积分的定义 具体要求：深刻理解定积分的概念和背景。 第二节牛顿一莱布尼兹公式 具体要求：会用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分。 第三节可积条件 1.可积的必要条件 2.可积的充要条件 3.可积函数类 具体要求：熟悉可积条件和可积函数类。 第四节定积分的性质 1.定积分的基本性质 2.积分中值定理
7 第一节 不定积分的概念与基本积分公式 1. 原函数与不定积分 2. 基本积分表 具体要求：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质和运算法则，记住基本积 分表。 第二节 换元积分法和分部积分法 1. 换元积分法 2. 分部积分法 具体要求：熟练掌握换元积分法和分部积分法。 第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分 1. 有理函数的不定积分 2. 三角函数有理式的不定积分 3. 某些无理根式的不定积分 具体要求：掌握有理函数和三角函数有理式的不定积分法，会计算简单的无理根式函数的不 定积分。 第九章 定积分 第一节 定积分概念 1. 问题提出 2.定积分的定义 具体要求：深刻理解定积分的概念和背景。 第二节 牛顿—莱布尼兹公式 具体要求：会用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分。 第三节 可积条件 1. 可积的必要条件 2. 可积的充要条件 3. 可积函数类 具体要求：熟悉可积条件和可积函数类。 第四节 定积分的性质 1. 定积分的基本性质 2. 积分中值定理 重点：不定积分的概念与计算； 难点：第一换元法。 重点：定积分的概念与计算； 难点：可积条件
具体要求：掌握定积分的性质，了解积分中值定理。 第五节微积分学基本定理·定积分计算（续） 1.变限积分与原函数的存在性 2.换元积分法与分部积分法 3.泰勒公式的积分型余项 具体要求：深刻理解微积分学基本定理，掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 第十章定积分的应用 重点：微元法： 难点：微元法的应用。 第一节平面图形的面积 1.直角坐标系下平面图形的面积的计算 2.极坐标系下平面图形的面积的计算 具体要求：能熟练地运用定积分求平面图形的面积。 第二节由平行截面面积求体积 1.由平行截面面积函数求立体体积 2.旋转体体积 具体要求：会用平行截面法求立体的体积。 第三节平面曲线的弧长与曲率 1.平面曲线的弧长 2.曲率 具体要求：了解平面曲线的弧长和曲率的概念，会用定积分求平面曲线的弧长。 第四节旋转曲面的面积 1.微元法 2.旋转曲面的面积 具体要求：理解微元法的思想，会用定积分求旋转曲面的面积。 第五节定积分在物理中的某些应用 1.液体静压力 2.引力 3.功与平均功率 具体要求：会用微元法的思想求液体的静压力、物体之间的引力以及变力运动所做的功。 第十一章反常积分 重点：反常积分的概念，反常积分敛散性判别： 难点：反常积分敛散性判别。 第一节反常积分概念 8
8 具体要求：掌握定积分的性质，了解积分中值定理。 第五节 微积分学基本定理定积分计算（续） 1.变限积分与原函数的存在性 2. 换元积分法与分部积分法 3. 泰勒公式的积分型余项 具体要求：深刻理解微积分学基本定理，掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 第十章 定积分的应用 第一节 平面图形的面积 1. 直角坐标系下平面图形的面积的计算 2. 极坐标系下平面图形的面积的计算 具体要求：能熟练地运用定积分求平面图形的面积。 第二节 由平行截面面积求体积 1. 由平行截面面积函数求立体体积 2. 旋转体体积 具体要求：会用平行截面法求立体的体积。 第三节 平面曲线的弧长与曲率 1. 平面曲线的弧长 2. 曲率 具体要求：了解平面曲线的弧长和曲率的概念，会用定积分求平面曲线的弧长。 第四节 旋转曲面的面积 1. 微元法 2. 旋转曲面的面积 具体要求：理解微元法的思想，会用定积分求旋转曲面的面积。 第五节 定积分在物理中的某些应用 1. 液体静压力 2. 引力 3.功与平均功率 具体要求：会用微元法的思想求液体的静压力、物体之间的引力以及变力运动所做的功。 第十一章 反常积分 第一节 反常积分概念 重点：微元法； 难点：微元法的应用。 重点：反常积分的概念，反常积分敛散性判别； 难点：反常积分敛散性判别
1.问题提出 2.两类反常积分的定义 具体要求：理解反常积分敛散性的概念，并会计算收敛反常积分的值。 第二节无穷积分的性质与收敛判别 1.无穷积分的性质 2.非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般无穷积分的收敛判别法 具体要求：了解无穷积分的性质，掌握非负函数无穷积分的收敛判别法（比较原则），会用狄利 克雷判别法和阿贝尔判别法判别一般无穷积分的收敛性。 第三节暇积分的性质与收敛判别 1.暇积分的性质 2.非负函数瑕积分的收敛判别法 3.一般瑕积分的收敛判别法 具体要求：了解暇积分的性质，掌握非负函数暇积分的收敛判别法（比较原则），会用狄利克雷 判别法和阿贝尔判别法判别一般暇积分的收敛性。 第十二章数项级数 重点： 数项级数敛散性概念，正项级数的收敛性判别： 难点：正项级数的收敛性判别。 第一节级数的收敛性 1.级数收敛的定义 2.收敛级数的性质 具体要求：理解级数收敛、发散的概念，知道级数收敛的柯西准则和必要条件，了解收敛级数 的性质。 第二节正项级数 1.正项级数收敛性的一般判别原则 2.比式判别法与根式判别法 3.积分判别法 具体要求：熟练掌握正项级数的敛散性判别法并会运用。 第三节一般项级数 1.交错级数 2.绝对收敛级数及其性质 3.阿贝尔判别法与狄里克雷判别法 具体要求：熟练掌握交错级数的敛散性判别法，会用一般项级数的阿贝尔判别法和狄里克雷判
9 1. 问题提出 2. 两类反常积分的定义 具体要求：理解反常积分敛散性的概念，并会计算收敛反常积分的值。 第二节 无穷积分的性质与收敛判别 1. 无穷积分的性质 2. 非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般无穷积分的收敛判别法 具体要求：了解无穷积分的性质，掌握非负函数无穷积分的收敛判别法（比较原则），会用狄利 克雷判别法和阿贝尔判别法判别一般无穷积分的收敛性。 第三节 暇积分的性质与收敛判别 1. 暇积分的性质 2. 非负函数瑕积分的收敛判别法 3. 一般瑕积分的收敛判别法 具体要求：了解暇积分的性质，掌握非负函数暇积分的收敛判别法（比较原则），会用狄利克雷 判别法和阿贝尔判别法判别一般暇积分的收敛性。 第十二章 数项级数 第一节 级数的收敛性 1. 级数收敛的定义 2. 收敛级数的性质 具体要求：理解级数收敛、发散的概念， 知道级数收敛的柯西准则和必要条件，了解收敛级数 的性质。 第二节 正项级数 1. 正项级数收敛性的一般判别原则 2. 比式判别法与根式判别法 3. 积分判别法 具体要求：熟练掌握正项级数的敛散性判别法并会运用。 第三节 一般项级数 1. 交错级数 2. 绝对收敛级数及其性质 3. 阿贝尔判别法与狄里克雷判别法 具体要求：熟练掌握交错级数的敛散性判别法，会用一般项级数的阿贝尔判别法和狄里克雷判 重点： 数项级数敛散性概念，正项级数的收敛性判别； 难点：正项级数的收敛性判别