非齐次线性方程的通解等于相应齐方程的通解 与非齐次方程的一个特解之和 即非齐通解=齐通解+非齐特解 —线性微分方程解的结构,是很优良的性质。 例1求方程y+y=x的通解 解P(x)=1,Qx)=Sx --[ sinx dx i +c
非齐次线性方程的通解 等于 相应齐方程的通解 与非齐次方程的一个特解之和 即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解 ——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。 例1 . 1 sin 求方程 的通解 x x y x y + = 解 , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x = = + − e dx C x x y e d x x d x x 1 1 sin
sIn d edx+c C sin xdx+c)=cos x+c) 例2解方程 dy 2y (x+1) dx x+1 av J 解相应齐方程 dx x+1 解得y=c(x+1)2 y=c(x)(x+1
= ( xdx + C) x sin 1 ( cos ). 1 x C x = − + = + − e dx C x x e ln x sin ln x 解方程 2 5 ( 1) 1 2 = + + − x x y dx dy 解 相应齐方程 1 2 + = x y dx dy 解得 2 y = c(x + 1) 令 2 y = c(x)( x + 1) 例2
代入非齐方程 c'(x)(x+1)2+2c(x)(x+1) 1+I(x+1)2 2c(x)(x+1)2 →c'(x)=(x+1)2 解得c(x)=(x+1)2+c 3 故非齐次方程的通解为 y=(x+1)2(x+1)2+cl
代入非齐方程 ( )( 1) 2 ( )( 1) 2 c x x + + c x x + 2 5 2 ( 1) 1 1 2 ( )( 1) = + + − + x x c x x 2 1 c(x) = (x + 1) 解得 c x = x + + c 2 3 ( 1) 3 2 ( ) 故非齐次方程的通解为 ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 y = x + x + + c
例3解方程(1+x2)y+2xy=1 解这是一个二阶线性方程由于其中不含变量y 若令z=y→y= →(1+x2)z+2xz=1 化成一阶线性方程其通解为x= 1+x 2 x 即y= 1+x 2再积分 y=In(1+x)+c arctan x+C2 即为原二阶方程的通解
例3 解方程 (1 ) 2 1 2 + x y + xy = 解 这是一个二阶线性方程 由于其中不含变量 y 若令 z = y y = z (1 ) 2 1 2 + x z + xz = 化成一阶线性方程 其通解为 2 1 1 x x c z + + = 即 2 1 1 x x c y + + = 再积分 1 2 2 ln(1 ) arctan 2 1 y = + x + c x + c 即为原二阶方程的通解