86.4麦克斯韦气体分子速率分布律一.分布的概念问题的提出气体系统是由大量分子组成，而各分子的速率通过碰撞不断地改变，不可能逐个加以描述，只能给出分子数按速率的分布。分布的概念酒例如学生人数按年龄的分布年龄15~1617~1821~2219~20人数按年龄3000400010002000的分布人数比率按20%30%40%10%年龄的分布
一. 分布的概念 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变，不可能逐个加以描述，只能给出分子数按 速率的分布。 ⚫ 问题的提出 ⚫ 分布的概念 例如学生人数按年龄的分布 年龄 15 ~16 17 ~ 18 19 ~20 21~22 人数按年龄 的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按 年龄的分布 20% 30% 40% 10% §6.4 麦克斯韦气体分子速率分布律
例如气体分子按速率的分布速率～AU2~ U3Ui~ V2分子数按速率的分布ANiAN2AN,分子数比率按速率的分布AN,/NAN/NAN/N(aN,)就是分子数按速率的分布二.速率分布函数f(u)设某系统处于平衡态下，总分子数为N，则在u～u+du区间内分子数的比率为dNdN=f(uduf(u)=Ndu称为速率分布函数u) 意义：分布在速率U附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率
速 率 v1 ～ v2 v2 ～ v3 . vi ～ vi +Δv . 分子数按速率的分布 ΔN1 ΔN2 . ΔNi . 分子数比率按速率的分布 ΔN1 /N ΔN2 /N . ΔNi /N . 例如气体分子按速率的分布 ｛ ΔNi ｝就是分子数按速率的分布 二. 速率分布函数 f (v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区间内分子数的比率为 dN N = f ( ) v dv d ( ) d N f N v = v f(v) 称为速率分布函数 意义：分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分 子数的比率
三.麦克斯韦速率分布定律1.麦克斯韦速率分布定律理想气体在平衡态下分子的速率分布函数m)3/2 2e-m~ / 2kf(u) = 4元(（麦克斯韦速率分布函数）2元kT式中m为分子质量，T为气体热力学温度，k为玻耳兹曼常量k=1.38X10-23J/K理想气体在平衡态下，气体中分子速率在u～u+du区间内的分子数与总分子数的比率为dNm3/2y?e2 e-m2 /2kT dv= f(u)d= 4元(二N2元kT这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
三. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数 2 3/ 2 2 / 2 ( ) 4 ( ) 2π m m kT f e kT − = v v v （ 麦克斯韦速率分布函数） 式中m为分子质量，T 为气体热力学温度，k 为玻耳兹曼常量 1. 麦克斯韦速率分布定律 2 d 3/ 2 2 / 2 ( )d 4π( ) d 2π N m m kT f e N kT − = = v v v v v 理想气体在平衡态下，气体中分子速率在 v～v+ dv 区间 内的分子数与总分子数的比率为 这一规律称为麦克斯韦速率分布定律 k = 1.38×10-23 J / K
2.麦克斯韦速率分布曲线tf(u)由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。在du间隔内，曲线下的面积表示速率分布U2Ui0在u～v+du中的分子（速率分布曲线）dNf(u)du =数与总分子数的比率N在Ur~U,区间内,曲线下的面积表示速率分布在U~U,之间的分子数与总分子数的比率AN[" f(u)du=N1
2. 麦克斯韦速率分布曲线 ⚫ 由图可见，气体中速 率很小、速率很大的 分子数都很少。 dN N f ( )d v v = ⚫ 在dv 间隔内,曲线下 的面积表示速率分布 在v～v+ dv中的分子 数与总分子数的比率 （ 速率分布曲线 ） f(v) O v v＋dv v ··v1 v2 T ⚫ 在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之 间的分子数与总分子数的比率 2 1 ( )d N f N = v v v v
曲线下面的总面积，1 f(u)等于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的比率的总和0VpU（速率分布曲线）（归一化条件）[f(u)du=1RT最概然速率Up=1.41f（）出现极大值时，所对应的速率称为最概然速率不同气体，不同温度下的速率分布曲线的关系
⚫ 曲线下面的总面积， 等于分布在整个速率 范围内所有各个速率 间隔中的分子数与总 分子数的比率的总和 0 f ( )d 1 = v v ⚫ 最概然速率vp f（v）出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 (归一化条件) ( 速率分布曲线 ) O v T f(v) ⚫ 不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系 1.41 RT M = p v