步骤如下: 先分割曲顶柱体的底z ,并取典型小区域, f(x,y) 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积, (5;,m) △o 曲顶柱体的体积v=im∑f(5,m)△σ
步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i 先分割曲顶柱体的底 ，并取典型小区域， lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → 曲顶柱体的体积
2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 P(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 ②(5,n) 看作均匀薄片, △ 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量M=lim∑p(5,m)△a
２．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 x y o ( , ) i i i lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = = →
二、二重积分的概念 定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△a1 △a2,…,△an,其中△G表示第i个小闭区域, 也表示它的面积,在每个Δσ;上任取一点 (5;,m;) 作乘积f∫(5,1)△σ (i=1,2,…,n) 并作和∑∫(51,m)△a
二、二重积分的概念 定 义 设 f ( x, y)是有界闭区域D 上的有界函 数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 1 ， 2 , ， n，其中 i 表示第i个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点 ( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,y)da, D 即(xGIm∑,m)a i=1 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 表达式 元分 域数量 素和
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为D f (x, y)d ， 即D f (x, y)d i i ni i f = = → lim ( , ) 1 0 . 积分区域 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 积分和
对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的. (2)当∫(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值 由二重积分的定义可知若二重积分 ∫/(x,)d=lim∑/(5,m)0存在 D 九→0i=1
对二重积分定义的说明： (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值． 由二重积分的定义可知 若二重积分 → = = n i i i i D o f x y d f 1 ( , ) ( , ) lim 存在