免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点 1.圆的轴对称性 2.垂径定理及其逆定理. 3.运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明 (二)能力训练要求 1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图 形的各种方法 2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神 (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精 神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神 垂径定理及其逆定理. 垂径定理及其逆定理的证明 指导探索和自主探索相结合 投影片两张 第一张:做一做(记作§3.2.1A) 第二张:想一想(记作§3.2.1B) 教学过程 I.创设问题情境,引入新课 师]前面我们已探讨过轴对称图形,哪位同学能叙述一下轴对称图形的定 义 生如果一个图形沿着某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫轴对称图形,这条直线叫对称轴 师我们是用什么方法研究了轴对称图形? 生]折叠 [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性 Ⅱ.讲授新课 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理． 3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明． (二)能力训练要求 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图 形的各种方法． 2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精 神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 垂径定理及其逆定理． 垂径定理及其逆定理的证明． 指导探索和自主探索相结合． 投影片两张： 第一张：做一做(记作§3．2．1A) 第二张：想一想(记作§3．2．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定 义？ [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？ [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 师]同学们想一想:圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能 找到多少条对称轴? 「生]圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴,有无数条对称轴 师]是吗?你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下 生我们可以利用折叠的方法,解决上述问题,把一个圆对折以后,圆的两 半部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便 可知圆有无数条对称轴 师]很好 教师板书: 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念 1.圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc). 2.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦( chord) 3.直径:经过圆心的弦叫直径( d iameter) 如下图,以A、B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”;线 段AB是⊙O的一条弦,弧CD是⊙O的一条直径 注意: 1.弧包括优弧( major arc)和劣弧( minor arc,大于半圆的弧称为优弧,小于 半圆的弧称为劣弧如上图中,以A、D为端点的弧有两条:优弧ACD(记作ACD), 劣弧ABD(记作AD).半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每 条弧叫半圆弧,简称半圆.半圆是弧,但弧不一定是半圆;半圆既不是劣弧,也 不是优弧 2.直径是弦,但弦不一定是直径 下面我们一起来做一做:(出示投影片§3.2.1A) 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能 找到多少条对称轴？ [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两 半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便 可知圆有无数条对称轴． [师]很好． 教师板书： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)． 如下图，以 A、B 为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”；线 段 AB 是⊙O 的一条弦，弧 CD 是⊙O 的一条直径． 注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于 半圆的弧称为劣弧．如上图中，以 A、D 为端点的弧有两条：优弧 ACD(记作 ACD )， 劣弧 ABD(记作 AD )．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一 条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也 不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 按下面的步骤做一做: 1.在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的 两半部分重合 2.得到一条折痕CD 3.在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线,得到新的折痕,其中, 点M是两条折痕的交点,即垂足 0 4.将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如上图 师老师和大家一起动手 (教师叙述步骤,师生共同操作) [师j通过第一步,我们可以得到什么? 「生齐声可以知道:圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴 师]很好.在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 生我发现了,AM=BM,AC=BC,AD=BD 师]为什么呢? 「生因为折痕AM与BM互相重合,A点与B点重合 师]还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系? [师生共析如下图示,连接OA、OB得到等腰△OAB,即OA=OB.因CD ⊥AB,故△OAM与△OBM都是R△,又OM为公共边,所以两个直角三角形 全等,则AM=BM.又⊙O关于直径CD对称,所以A点和B点关于CD对称, 当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC与BC重合,AD与BD重合.因 此AM=BM,AC=BC,AD 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 按下面的步骤做一做： 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的 两半部分重合． 2．得到一条折痕 CD． 3．在⊙O 上任取一点 A，过点 A 作 CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中， 点 M 是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点 B，如上图． [师]老师和大家一起动手． (教师叙述步骤，师生共同操作) [师]通过第一步，我们可以得到什么？ [生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴． [师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？ [生]我发现了，AM＝BM， AC BC = ， AD BD = ． [师]为什么呢？ [生]因为折痕 AM 与 BM 互相重合，A 点与 B 点重合． [师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？ [师生共析]如下图示，连接 OA、OB 得到等腰△OAB，即 OA＝OB．因 CD ⊥AB，故△OAM 与△OBM 都是 Rt△，又 OM 为公共边，所以两个直角三角形 全等，则 AM＝BM．又⊙O 关于直径 CD 对称，所以 A 点和 B 点关于 CD 对称， 当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与 重合．因 此 AM＝BM， = ， = ．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 师]在上述操作过程中,你会得出什么结论? 「生垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 师]同学们总结得很好.这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重 要性质一一垂径定理.在这里注意;①条件中的“弦”可以是直径.②结论中的 “平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦 下面,我们一起看一下定理的证明: (教师边板书,边叙述) 如上图,连结OA、OB,则OA=OB 在R1△OAM和R△OBM中, OA=OB, OMEOM ∴RI△OAM≌Rt△OBM, ∴AM=BM ∴点A和点B关于CD对称 ⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC与BC重合,AD与BD 重合 AD-BD 师]为了运用的方便,不易出现错误,易于记忆,可将原定理叙述为:一条 直线若满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦,那么可推出:①平分弦,②平分弦所对 的优弧,③平分弦所对的劣弧. 即垂径定理的条件有两项,结论有三项.用符号语言可表述为 如图3-7,在⊙O中 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com [师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？ [生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． [师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重 要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的 “平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 下面，我们一起看一下定理的证明： (教师边板书，边叙述) 如上图，连结 OA、OB，则 OA＝OB． 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中， ∵OA＝OB，OM＝OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM． ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称． ∵⊙O 关于直径 CD 对称， ∴当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与 重合． ∴ = ， = ． [师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条 直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对 的优弧，③平分弦所对的劣弧． 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 如图 3－7，在⊙O 中
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ AM= BM CD是直径 →{AD=BD, CD⊥AB于M∫ 下面,我们通过求解例1,来熟悉垂径定理: 例1如下图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD的 圆心),其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m, 求这段弯路的半径. D 师生共析]要求弯路的半径,连结OC,只要求出OC的长便可以了.因为 已知OE⊥CD,所以CF=CD=300cm,OF=OE一EF,此时就得到了一个Rt 2 △CFO,哪位同学能口述一下如何求解? 生]连结OC,设弯路的半径为Rm,则 0F=(R-90m,∵OE⊥CD, ∴CF=:CD≈ 600=300m). 据勾股定理,得 OC2=CF2+OF2 即R2=3002+(R-902 解这个方程,得R=545 ∴这段弯路的半径为545m. 师]在上述解题过程中使用了列方程的方法,用代数方法解决几何问题,这 种思想应在今后的解题过程中注意运用 随堂练习:P92.1.略 下面我们来想一想(出示投影片§3.2.1B) 如下图示,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB 于点M. 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com AM BM CD AD BD CD AB M AC BC = = ⊥ = ， 是直径 ， 于 ． 下面，我们通过求解例 1，来熟悉垂径定理： [例 1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点 O 是 的 圆心)，其中 CD＝600m，E 为 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF＝90m， 求这段弯路的半径． [师生共析]要求弯路的半径，连结 OC，只要求出 OC 的长便可以了．因为 已知 OE⊥CD，所以 CF＝ 1 2 CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个 Rt △CFO，哪位同学能口述一下如何求解？ [生]连结 OC，设弯路的半径为 R m，则 OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD， ∴CF＝ 1 2 CD＝ 1 2 ×600＝300(m)． 据勾股定理，得 OC2＝CF2＋OF2， 即 R 2＝3002＋(R－90)2 解这个方程，得 R＝545． ∴这段弯路的半径为 545m． [师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这 种思想应在今后的解题过程中注意运用． 随堂练习：P92．1．略 下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1B) 如下图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M．