第五章轧制单位压力分布函数式教学目的和要求：了解轧制单位压力的基本概念，熟练掌握Karman方程及其采利柯夫解的推导过程，了解Orowan方程及其Sims解、Stone方程及其Stone解的求解过程。重点难点：重点：Karman方程及其求解的思路及方法；难点：Orowan单位压力微分方程式的推导。5.1基本概念5.1.1轧制单位压力轧制时，接触弧上单位面积上所作用的正压力，称为轧制单位压力，简称单位压力，常用p示之。图1轧制单位压力p图2轧制压力5.1.2轧制压力P轧制压力是单位压力p在整个接触面的水平投影面积上的总和，用P示之。故P的方向与y轴平行，如图2所示。水平投影面积系指将接触面积投影到水平方向后的值。P=B.f'p.(Rdo.cos0)=B.f"p·dx(1)其中R·do=ds，而ds=dx/cos,B=(B+b)/25.1.3平均单位压力P平均单位压力指接触面水平投影面积上单位压力p的平均值。(2)p=P/F46
46 第五章 轧制单位压力分布函数式 教学目的和要求：了解轧制单位压力的基本概念，熟练掌握 Karman 方程及 其采利柯夫解的推导过程，了解 Orowan 方程及其 Sims 解、Stone 方程及其 Stone 解的求解过程。 重点难点：重点：Karman 方程及其求解的思路及方法；难点：Orowan 单位 压力微分方程式的推导。 5.1 基本概念 5.1.1 轧制单位压力 轧制时，接触弧上单位面积上所作用的正压力，称为轧制单位压力，简称单 位压力，常用 p 示之。 图1 轧制单位压力 p 图2 轧制压力 5.1.2 轧制压力 P 轧制压力是单位压力 p 在整个接触面的水平投影面积上的总和，用 P 示之。 故 P 的方向与 y 轴平行，如图２所示。水平投影面积系指将接触面积投影到水平 方向后的值。 P B p Rd B p dx L p L = 0 ＝ ( cos ) （1） 其中 R d = ds ，而 ds = dx cos，B = (B + b) 2 5.1.3 平均单位压力 p 平均单位压力指接触面水平投影面积上单位压力 p 的平均值。 p = P F （2）
5.2Karmann方程及其采利柯夫解这一节是本章的重点，也是本课的核心内容。许多单位压力p的分布式都是通过推导Karmann方程而得到的。本节将重点建立Karmann方程，并以采利柯夫对该方程的求解作为例子，来讨论求Karmann方程的方法。要求：1.对Karmann方程应能独立完成推导：2.对采利柯夫得到的解析解-一p的分布函数式，应能进行理论上的分析，并能掌握求解Karmann方程的基本方法。5.2.1Karmann方程假定条件：1.材料为各向同性、均质连续体；2. △b=0;3.变形区内各截面上的、，沿高度方向不变一平截面假定；4．变形区内轧件的长、宽、高方向就是主方向；5.不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形。图3推导Karmann方程图示下面利用图3来推导Kamann方程。从假定条件中已能看出，该方程的推导方法为近似工程法。1．建立近似平衡微分方程在后滑区取一宽为dx的微分单元体小条，其上受力如图3所示，令B=1，则由ZX=0，有47
47 5.2 Karmann方程及其采利柯夫解 这一节是本章的重点，也是本课的核心内容。 许多单位压力 p 的分布式都是通过推导Karmann方程而得到的。本节将重点 建立Karmann方程，并以采利柯夫对该方程的求解作为例子，来讨论求Karmann 方程的方法。要求： 1．对Karmann方程应能独立完成推导； 2．对采利柯夫得到的解析解—— p 的分布函数式，应能进行理论上的分 析，并能掌握求解Karmann方程的基本方法。 5.2.1 Karmann方程 假定条件： 1．材料为各向同性、均质连续体； 2． b = 0 ； 3．变形区内各截面上的 x v 、 x 沿高度方向不变——平截面假定； 4．变形区内轧件的长、宽、高方向就是主方向； 5．不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形。 图3 推导Karmann方程图示 下面利用图3来推导Karmann方程。从假定条件中已能看出，该方程的推导方 法为近似工程法。 1．建立近似平衡微分方程 在后滑区取一宽为 dx 的微分单元体小条，其上受力如图3所示，令 B = 1，则 由 X = 0 ，有
-2(o+do)(y+dy)+2oxy-2t,dscos0+2Pdssin0=0化简后doy+dy+do,dy+t,dscos0-pdssin0=0现对该式进行近似处理并整理①忽略高阶无穷小量do,dy；②方程两边同时乘以ydx；③ ds = dx/cos0 =dy/sin 0则得dor.=0dxydxydxydor_I-=0(3)dxdxyy2．近似屈服条件3=-,=-p,这里p是单由假定④，知,=-，02=-0.=-0m2位压力而非静水压力。根据屈服条件，0,-0,=2k=K，即-C- -(-p)=Kp-,=Ko,=p-Kdo, =dp将其代入(3)式中，得_=0(4a)dxydxy同理，前滑区的Karmann方程为__=0(4b)dxydxy这就是著名的Karmann微分方程式。3.Karmann微分方程式的第二种表达形式将高阶无论穷小略去后，式（1）可写成如下的形式doxy+o,dy=trdscos0-pdssin0d(oy)=t,ds cos0+ pdssin 0根据屈服条件，α，=p-K，而y=he/2，ds=Rde代入上式，48
48 − 2( x + d x )( y + dy) + 2 x y − 2 f ds cos + 2Pdssin = 0 化简后 d x y + xdy + d xdy + f ds cos − pdssin = 0 现对该式进行近似处理并整理 ①忽略高阶无穷小量 d dy x ； ②方程两边同时乘以 ydx ; ③ ds = dx cos =dy sin 则得 + + − = 0 dx dy y p dx y dy dx y d x x f + = 0 − − dx y dy y p dx d x x f （3） 2．近似屈服条件 由假定④，知 1 = − x , 2 = − z = − m , 3 = − y = − p ,这里 p 是单 位压力而非静水压力。 根据屈服条件， 1 − 3 = 2k = K ，即 d dp p K p K p K x x x x = = − − = − − − = ( ) 将其代入(3)式中，得 − + = 0 y τ dx dy y K dx dp f （4a） 同理，前滑区的Karmann方程为 − − = 0 y τ dx dy y K dx dp f （4b） 这就是著名的Karmann微分方程式。 3．Karmann微分方程式的第二种表达形式 将高阶无论穷小略去后，式（1）可写成如下的形式 d x y + x dy = f ds cos − pdssin d( x y) = f ds cos pdssin 根据屈服条件， x = p − K ，而 y = h 2， ds = Rd 代入上式
[(p-K)=2R(psin OF↑, cos0)(5)deKarmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比较。5.2.2卡尔曼方程的求解条件1.单位摩擦力f沿接触弧的分布规律①全滑动：Ty=fp(f =const)其中「为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规律是适合的。很多p分布式的求解都应用了该规律，如采利柯夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith等公式。②全粘着：T, =k= K/2接触面上的摩擦切应力已达剪切屈服应力，所以该式适于接触面摩擦严重的变形过程。Sims采用了该规律。③混合摩擦：接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区滑动区：t,=f·p粘着区：T,=k=K/2这一摩擦规律为陈家民公式所采用。④液体摩擦：dvrt,=ndy即摩擦切应力tf与流体的速度梯度成正比，这一规律称为Newton定律，比例系数n称为液体的粘度系数。该规律仅适于冷轧，为Nadai公式所采用。③对屈服应力加权：Tf=mk(或t,=m.o,)其中0<m<1，为摩擦因子。该规律一般用于接触面摩擦较重的情况，为切克马廖夫所采用。③摩擦切应力是单位压力p的某个函数：Ty =f(p)49
49 ( ) ( ) 2 sin cos f h p K R p d d − = （5） Karmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比较。 5.2.2 卡尔曼方程的求解条件 1．单位摩擦力 f 沿接触弧的分布规律 ①全滑动： f ＝f p ( f = const) 其中 f 为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规律是适合的。很多 p 分布式的求解都应用了该规律，如采利柯夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith 等公式。 ②全粘着： f = k = K 2 接触面上的摩擦切应力 f 已达剪切屈服应力，所以该式适于接触面摩擦严重的变 形过程。Sims采用了该规律。 ③混合摩擦： 接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区 滑动区： f = f p 粘着区： f = k = K 2 这一摩擦规律为陈家民公式所采用。 ④液体摩擦： dy dvx f = 即摩擦切应力 f 与流体的速度梯度成正比，这一规律称为Newton定律，比例系 数 称为液体的粘度系数。该规律仅适于冷轧，为Nadai公式所采用。 ⑤对屈服应力加权： f m f s = k (或 = m ) 其中 0 m 1 ，为摩擦因子。该规律一般用于接触面摩擦较重的情况，为切克马 廖夫所采用。 ⑥摩擦切应力是单位压力 p 的某个函数： f = f ( p)
北京钢院式用之。2.接触弧方程（y=f(x)关系）①圆弧：较精确，但推导麻烦，如Bland、Sims等用之。②抛物线：是一种近似，Nadai、Siebel等用之。③直线：以弦代弧，采利柯夫用之。④平板：Stone用之。3.变形抗力的取法无硬化：K=C（热变形适用）②有硬化，但取平均值：K=（K，+K)/2③线性关系加权：K=a·K+b.Kh其中a、b为权。④带张力时：K=K-qK沿接触弧具有分布函数关系：HK'=V.K.h.其中v、n为常数，通过两个实验可定。5.2.3Karmann方程的采利柯夫解这里将导出采利柯夫的单位压力p分布函数式。①假定条件：①摩擦规律——接触面全滑动：t,=f·p，解除面摩擦不太严重时适用。②接触弧方程（y=f(x）关系）一以弦代弧：根据两点式直线方程，在图3所示的坐标系下，找出两个点：（0,h/2)，兴x+台，如此处理，只有在压薄件(I,H/2），由此可写出直线方程为：y=2'21x7>1)时才适用，否则偏差较大。h③平面变形抗力为常数：K=1.155g，=const，可见热变形时适用。50
50 北京钢院式用之。 2．接触弧方程（ y = f (x) 关系） ①圆弧： 较精确，但推导麻烦，如Bland、Sims等用之。 ②抛物线： 是一种近似，Nadai、Siebel等用之。 ③直线： 以弦代弧，采利柯夫用之。 ④平板： Stone用之。 3．变形抗力的取法 ①无硬化： K = c （热变形适用） ②有硬化，但取平均值： K＝（KH＋Kh）2 ③线性关系加权： K a K H b Kh ＝ ＋ 其中ａ、ｂ为权。 ④带张力时： K z = K − q ⑤ K 沿接触弧具有分布函数关系： n hx H K＝ K ( ) 其中 、n 为常数，通过两个实验可定。 5.2.3 Karmann方程的采利柯夫解 这里将导出采利柯夫的单位压力 p 分布函数式。 ① 假定条件： ①摩擦规律——接触面全滑动： f = f p ，解除面摩擦不太严重时适用。 ②接触弧方程（ y = f (x) 关系）——以弦代弧： 根据两点式直线方程，在图3所示的坐标系下，找出两个点： (0, h 2)， (l, H 2)，由此可写出直线方程为： 2 2 h x l h y + = ，如此处理，只有在压薄件 ( 1) h l 时才适用，否则偏差较大。 ③平面变形抗力为常数： K const =1.155 s = ，可见热变形时适用