第六章平均单位压力计算模型由于轧制压力p的计算需用平均单位压力p，即p=F，其中F是水平投影面积，F=B1=(B+b)/2./R·△h。本章将建立大量实用的用于计算平均单位压力的数学模型，模型的推导需用到第五章得到的单位压力p的分布函数式。6.1采利柯夫平均单位压力计算式以采利柯夫的无张力单位压力p的分布函数式为例：K后滑区：P=(8-1)·G)8+1hK.[(6 +1) (X)8-1前滑区：PhLR其中，o-2.1f_2f.Rh2D2fAhhNAhh6.1.1求轧制压力P根据轧制压力的定义，P可由下式求得：(1)P=]"B·p,(x)·dx+J"B·ph(x).dx其中p(x)、P(x)分别是前滑区和后滑区的单位压力分布函数式。只需将采利柯夫单位压力p的分布函数式代入（1）式积分即可求得。积分时需作变量代换，即将变量h.变换成x，根据采利柯夫以弦代弧的假定：Ah.hx+V212则由y=，有2Ahh=.x+h1写成微分关系：65
65 第六章 平均单位压力计算模型 由于轧制压力 P 的计算需用平均单位压力 p ，即 P = pF ，其中 F 是水平投影面积， F = Bl = (B + b) 2 R h 。本章将建立大量实用的用 于计算平均单位压力的数学模型，模型的推导需用到第五章得到的单 位压力 p 的分布函数式。 6.1 采利柯夫平均单位压力计算式 以采利柯夫的无张力单位压力 p 的分布函数式为例： 后滑区： ( ) = −1 ( ) +1 x H h K H p 前滑区： ( ) = +1 ( ) −1 h K h p x h 其中， h D f h R f h f R h h l f = = = 2 2 2 2 ＝ 6.1.1 求轧制压力 P 根据轧制压力的定义， P 可由下式求得： P B p x dx B p x dx h H + ( ) ( ) 0 ＝ （1） 其中 p (x) p (x) h 、 H 分别是前滑区和后滑区的单位压力分布函数式。 只需将采利柯夫单位压力 p 的分布函数式代入（1）式积分即可求 得。积分时需作变量代换，即将变量 x h 变换成 x ，根据采利柯夫以弦 代弧的假定： 2 2 h x l h y + = ， 则由 2 hx y = ，有 x h l h hx + = 写成微分关系：
h.dx,1dh, =dx =dh,1Ah将这些关系都代入（1）式：P=BLK["[s -1)(H/h. )° +1lih, + [" [(s + 1)(h. /h)° -1lhAhs将此式积分后，整理：P=BK.h,[H/h, +(n, /h) -2](2)Ah（2）式中的H/h,和h,/h为未知，但根据中性面上h，=h,时，必有Ph=PH，则可推出：()--[6+()-2]代入（2）式，轧制压力为：B2lh,P= h(6-1) K-]4-而其中的h，/h在第五章已推出：[1+ /1+(82 - 1) (H / h)°Mh8+1平均单位压力P的采利柯夫计算模型与图表6.1.2P2Kh前-()[D=P=k.2.(I-s))[() -- (6.)%-6.(8-1):n。= P/K = f(8,s)为方便实际应用，有人根据上式作出了n。=f(s,s)的曲线图，即由某道次的8、s之值，可在曲线图上查得n。，从而求得万。详见教材p48。66
66 x dhx h l dx dx l h dh = = , 将这些关系都代入（1）式： ( )( ) ( )( ) − + + + − x h h x x H h H hx dh h h dh K h l P B ＝ 1 1 1 1 将此式积分后，整理： ( ) + ( ) − 2 h H h h h K h l P＝B （2） （2）式中的 H h 和 h h 为未知，但根据中性面上 hx = h 时，必有 ph = pH，则可推出： ( ) − + − = 1 2 1 1 h h h H 代入（2）式，轧制压力为： ( ) − − = 1 1 2 h h K h B lh P 而其中的 h h 在第五章已推出： 1 2 1 1 1 ( 1) ( ) + + + − = H h h h 6.1.2 平均单位压力 p 的采利柯夫计算模型与图表 ( ) − − = = 1 1 2 h h h h h Kh B l P p ( ) 1 ( , ) 1 2 (1 ) K f h h h h p K = − − − = ( , ) n = P K = f 为方便实际应用，有人根据上式作出了 ( ) n = f , 的曲线图，即 由某道次的 、 之值，可在曲线图上查得 n ，从而求得 p 。详见教 材p48
Sims平均单位压力计算模型6.26.2.1求轧制压力根据Sims单位压力p的分布函数式：后滑区：RRP=.nho+#+- arctan(/R/h .0)/R/h:arctanK-4VhH4h前滑区：RP=".nho+"+R/h.0)-arctan(K-4mh4Vh将该二式代入下式：P=I, p,(x)·dx+ [" Pr(x)-dx并注意到，作用在弧段R·do上的压力为：p·(R·do)，如图1所示。dx=Rde.coso，则上式可写成P='p,Rdo.cosO+ "phRdo.coso因coso~1，则P='p,Rd0+"pRdo(3)注意，此式中轧件的平均宽度B=1。这样处理的目的是为了推导简便，并不影响后面的计算。将前，后滑区的单位压力函数式均代入（3）中，积分后得元h-元α-n%+m(4)P= R.K·arctan2'VR'Vi-84h2h其中h,可利用求得：h,=h+D.(1-cosy)67
67 6.2 Sims平均单位压力计算模型 6.2.1 求轧制压力 根据Sims单位压力 p 的分布函数式： 后滑区： ( ) ( ) = + + − R h h R R h h R H h K pH arctan arctan 4 ln 4 前滑区： ( ) = + + R h h R h h K ph arctan 4 ln 4 将该二式代入下式： P p x dx p x dx h H + ( ) ( ) 0 ＝ 并注意到，作用在弧段 R d 上的压力为： p (R d) ，如图１所示。 dx = Rd cos ，则上 式可写成 cos cos 0 + P＝ phRd pH Rd 因 cos 1 ，则 + P phRd pH Rd 0 ＝ （3） 注意，此式中轧件的平均宽度 B =1。这样处理的目的是为了推导 简便，并不影响后面的计算。 将前，后滑区的单位压力函数式均代入（3）中，积分后得 − − + − = h H h h R h P R K ln 2 1 ln 1 4 arctan 2 （4） 其中 h 可利用 求得： (1 cos ) h = h + D −
6.2.2平均单位压力P的Sims模型PPP=B.L-1-lMR.K「元ThH6个1h-In(5)arctanInα-JR.Ah2VRhN1-84h2= K-f(R/h,s)其中B.n1-61-86元元f(R/h,c)--arctanVh'1-6426C(6)R1[1-81 In2V6VhVi-8由(5)式推出(6)式的过程如下：(5)式中的第一项：hRVRVR.AhhhRH+h-HH-81VR·AhVRVAhhVAh6(5)式中的第二项：R元:aJR·Ah4将α解出即可．因I~R·α(以弦代弧)，则α为：hVR.Ah=RVR将其代入，则RRAh_元元元Q:VR44JR.Ah4JR.h(5)式中的第三项：台R.InhVRAhhyRhyAhyR11in. InInVh1VhhhJR.hJAh/hV(-)/e冬Re.InVh1hS(5)式中的第四项：68
68 6.2.2 平均单位压力 p 的Sims模型 ( ) , ln 2 1 ln 1 4 arctan 2 1 K f R h h H h h R h R h R K l P B l P p = − − + − = = = （5） 其中 ( ) − − + − − − − − = 1 1 ln 1 2 1 ln 1 1 4 arctan 1 2 , h R h h h R f R h （6） 由(5)式推出(6)式的过程如下： (5)式中的第一项: R h R h R − − = − = = + − = = 1 1 1 1 h H h H h H h h R h R h R (5)式中的第二项： R h 4 R 将 解出即可．因 l R (以弦代弧)， 则 为： R h R R h = ＝ 将其代入，则 4 4 4 = = R h R h R R h R (5)式中的第三项： h h R h R ln h h h R h h h R h h h R h h h h R h R ln 1 ln (1 ) 1 ln 1 ln − = − = = (5)式中的第四项：
RInHInNVR.Ah 2R1HRRH11111-81.n- Inin2VVhVhh2 /h/h61-8VR.Ah 2其中H1=nInh1-8应力状态影响系数n。6.2.3R卫_(7)n。==KCh由于Sims的p计算式求解很烦，故有人作出了（7）的曲线图，根据该图（详见P298）。对某道次，首先算出R/h和s，然后从图上查出应力状态影响系数n.之值，从而可得。Sims式的简化式6.2.41.志田茂式志田茂在实验的基础上.对复杂的Sims式进行了大刀阔斧的修正和改造：ng=0.8+(0.45+0.04)-(/R/H0.5)后来他根据沃克维特和他自已的实测数据，又将上式修正为：n。=0.8+c-(/R/H-0.5)其中c按下式计算：当≤0.15,c=0.052//+0.016当>0.15c=0.2+0.12对厚件轧制的情况，即/h较小时，上式还需补充一项，为R-0.5) (3+/)n=0.8+c.(Vh3+1/h2.五弓，斋藤式：69
69 h H R h R ln 2 1 − − = = 1 1 ln 1 2 1 ln 1 2 1 ln 2 1 h R h H h R h h h H R h R 其中 − = 1 1 ln ln h H 6.2.3 应力状态影响系数 n = = , h R f K p n （7） 由于Sims的 p 计算式求解很烦，故有人作出了（7）的曲线图，根 据该图（详见P298）。对某道次，首先算出 R/ h 和 ，然后从图上查 出应力状态影响系数 n 之值，从而 p 可得。 6.2.4 Sims式的简化式 1．志田茂式 志田茂在实验的基础上,对复杂的Sims式进行了大刀阔斧的修正和 改造： n = 0.8+ (0.45 + 0.04)( R H − 0.5) 后来他根据沃克维特和他自己的实测数据，又将上式修正为： n = 0.8 + c ( R H − 0.5) 其中 c 按下式计算： 当 0.15, c = 0.052 + 0.016 当 0.15, c = 0.2 + 0.12 对厚件轧制的情况，即 l h 较小时，上式还需补充一项，为 ) 3 3 0.8 ( 0.5) ( l h h l h R n c + + = + − 2．五弓，斋藤式：