下面给出元和入的另一种等价表达式.设xk是问题(11.1)的 任一可行点，即xk满足Axk=b.而在此点处目标函数的梯度为 9k=Vf(ck)=Hxk+c.利用xk和9k,可将(11.13)改写为 (11.14) 下面我们给出求解等式约束二次规划拉格朗日方法的Matlab程 序 程序11.1本程序用拉格朗日方法求解等式约束条件的二次规 划问题。 function [x,lam,fval]=qlag(H,A,b,c) %功能：用拉格朗日方法求解等式约束二次规划： % min f(x)=0.5*x'Hx+c'x,s.t.Ax=b %输入：H,c分别是目标函数的矩阵和向量，A,b分别是 % 约束条件中的矩阵和向量 Back Close
11/43 JJ II J I Back Close e°â— x¯ ⁄ λ¯ ,ò´ dLà™. xk ¥ØK (11.1) ?òå1:, = xk ˜v Axk = b. 3d:?8IºÍF›è gk = ∇f(xk) = Hxk + c. |^ xk ⁄ gk, åÚ (11.13) Uè x¯ λ¯ = xk − Ggk Bgk . (11.14) e°·Çâ—¶) ™Âg5y.ÇKFê{ Matlab ß S. ßS 11.1 ßS^.ÇKFê{¶) ™Â^ág5 yØK. function [x,lam,fval]=qlag(H,A,b,c) % ıU: ^.ÇKFê{¶) ™Âg5y: % min f(x)=0.5*x’Hx+c’x, s.t. Ax=b %—\: H,c©O¥8IºÍ› ⁄ï˛, A,b©O¥ % Â^á•› ⁄ï˛
%输出：(x,lam)是T点，fval是最优值. IH=inv(H); AHA=A*IH*A’; IAHA=inv(AHA); AIH=A*IH; G=IH-AIH'*IAHA*AIH; B=IAHA*AIH; C=-IAHA; x=B'*b-G*c; lam=B*c-C*b; fva1=0.5*x3*H*x+c’*x; 我们利用上述程序求解一个二次规划问题 例11.1利用程序11.1求解下列问题 minc2+2x号+x号-2c12+x3, s.t.x1+c2+x3=4, 2x1-x2+x3=2. Back Close
12/43 JJ II J I Back Close %——: (x, lam) ¥ KT :, fval ¥Å`ä. IH=inv(H); AHA=A*IH*A’; IAHA=inv(AHA); AIH=A*IH; G=IH-AIH’*IAHA*AIH; B=IAHA*AIH; C=-IAHA; x=B’*b-G*c; lam=B*c-C*b; fval=0.5*x’*H*x+c’*x; ·Ç|^˛„ßS¶)òág5yØK. ~ 11.1 |^ßS 11.1 ¶)eØK min x 2 1 + 2x 2 2 + x 2 3 − 2x1x2 + x3, s.t. x1 + x2 + x3 = 4, 2x1 − x2 + x3 = 2
解容易写出 月州可 2 -20 H= -2 002 在Matlab命令窗口依次输入： H=[2-20;-240;002]; c=[001]; A=[111;2-11]; b=[42]’; [x,lam]=qlag(H,A,b,c) 得到 X= 1.9091 1.9545 0.1364 Back lam Close
13/43 JJ II J I Back Close ) N¥— H = 2 −2 0 −2 4 0 0 0 2 , c = 0 0 1 , A = 1 1 1 2 −1 1 , b = 4 2 . 3 Matlab ·-Iùùg—\: H=[2 -2 0;-2 4 0; 0 0 2]; c=[0 0 1]’; A=[1 1 1;2 -1 1]; b=[4 2]’; [x,lam]=qlag(H,A,b,c) x = 1.9091 1.9545 0.1364 lam =
2.6364 -1.3636 fval 3.9773 §11.2一般凸二次规划的有效集方法 考虑一般二次规划 min Ha+es, S.t. ax-b=0,i∈E={1,., (11.15) ax-b,≥0，i∈I={l+1,m}, 其中H是n阶对称阵.记I(x*)={iax*-b;=0,i∈I},下面的定 理给出了问题(11.15)的一个最优性充要条件，其证明可参见文献[5]： 定理11.2x*是二次规划问题(11.15)的局部极小点当且仅当 Back Close
14/43 JJ II J I Back Close 2.6364 -1.3636 fval = 3.9773 §11.2 òчg5yk8ê{ ƒòÑg5y min 1 2 x THx + c T x, s.t. aT i x − bi = 0, i ∈ E = {1, · · · , l}, a T i x − bi ≥ 0, i ∈ I = {l + 1, · · · , m}, (11.15) Ÿ• H ¥ n È° . P I(x ∗ ) = {i| a T i x ∗ − bi = 0, i ∈ I}, e°½ nâ— ØK (11.15) òáÅ`5øá^á, Ÿy²åÎÑ©z[5]. ½n 11.2 x ∗ ¥g5yØK (11.15) ¤‹4:Ö=
(1)存在入*∈Rm,使得 Hx*+c-∑Xa:-∑ai=0, iEE aWx*-b;=0,i∈E, ax*-b:≥0，i∈I, λ≥0，i∈I(x*):入=0，i∈I八I(x*): (2)记 S={d∈R\{0|dPa=0,i∈E;drai≥0，i∈I(x*): dra,=0,i∈I(x*)且入>0} 则对于任意的d∈S,均有d严Hd≥0. 容易发现，问题(11.15)是凸二次规划的充要条件是H半正定.此 时，定理11.2的第二部分自然满足.注意到凸优化问题的局部极小点 也是全局极小点的性质，我们有下面的定理： Back Close
15/43 JJ II J I Back Close (1) 3 λ ∗ ∈ R m , ¶ Hx∗ + c − P i∈E λ ∗ i ai − P i∈I λ ∗ i ai = 0, a T i x ∗ − bi = 0, i ∈ E, a T i x ∗ − bi ≥ 0, i ∈ I, λ ∗ i ≥ 0, i ∈ I(x ∗ ); λ ∗ i = 0, i ∈ I\I(x ∗ ). (2) P S = {d ∈ R n \{0} | d T ai = 0, i ∈ E; d T ai ≥ 0, i ∈ I(x ∗ ); d T ai = 0, i ∈ I(x ∗ ) Ö λ ∗ i > 0}. KÈu?ø d ∈ S, ˛k d THd ≥ 0. N¥uy, ØK (11.15) ¥‡g5yøá^ᥠH å½. d û, ½n 11.2 1‹©g,˜v. 5ø‡`zØK¤‹4: è¥ ¤4:5ü, ·Çke°½n: