·16。 第一章电磁学基本实验定律的建立 Maxwell的理论分析是结合上述实验步骤进行的，为帮助读者理解，在计 算前，先概述其大意如下. 由实验步骤一，按下C,A与B联通，充电到电势V，即 VA=VB-V (1) 这时，A与B合成一个带电导体球壳，A是外表面，B是内表面.根据本节二 的论证，若6≠0，内表面应带电，设A、B分别带电a、B,则a和B在外表 面A产生的电势之和为VA,在内表面B产生的电势之和为VB为了得出 VA、VB与a、B,内外球半径a、b以及6的定量关系，可分两步计算.先 计算6≠0时，一个均匀带电球壳在空间各点的电势分布（即下述(5）式)·再 由此计算8≠0时，两同心均匀带电球壳（不联通）在内外球壳上的电势（即下 述(6)、(7)式)，这是Va和VB与a、B、a、b、6的定量关系.把它们（下 述(6)、(7)式)与(1)式联立，便可得出8≠0时，内表面电量与V、a、b、 δ的定量关系（即下述(8）式) 然后，由实验步骤二，拉开C,A与B分离，A接地放电并留原处.这 时，内球壳B的电量不变仍为B,A则受B的静电感应带电a',B与a的共同 贡献使A的电势为V'A=0(因A接地)，使B球的电势变为V'B·利用已经得 到的关系，可以得出V'B与V、a、b、8的定量关系（即下述(10）式或(12) 式)，这就是Maxwell的理论公式.再用静电计检测Vg下限，即可确定6的 下限. 以上就是Maxwel理论分析的概要，下面逐步给出有关计算结果！ 2.6≠0时，一个均匀带电球壳在空间各点的电势分布 计算的前提是设两点电荷之间的电力f与距离r的关系为 focr-2+8 且 6≠0,6<1 注意，在此条件下，电力f仍是有心力且只与距离 P 有关，故电力仍是作功与路径无关的保守力，电势概 念依然有效.但因6≠0，带电球壳在空间的电势分布， 将与教科书中在8=0条件下的计算结果有所不同 如图1-2-6所示，设球壳半径为a,面电荷密 面h 度为o,则总电量为a=4πa2a.根据电势叠加原理， 元 带电球壳在空间任一点P的电势V是各面元在P点的 电势dV之和，即 dv 面 图1-2-6
§2.Coulomb定律 ·17· 其中 dv=∫Edr 式中E是带电面元在空间P点的电场强度，为 E,兴 式中r是面元到P点的距离；在dV表达式中积分路径可任取，现取积分路径 为沿面元与P点的连线，从r积分到无穷远；式中dg是面元上的电量，取球 极坐标，表为 dg=oa2sin Ododo 式中0是纬度，9是经度， 引入函数Φ(r),定义为 Φ(r以=是=r2*8, 6<1 (2) Φ(x)表示6≠0条件下（即电力平方反比律有所偏差）两单位同号电荷相距r 时的斥力，再引人函数f(r),它的导数按下式定义： f'(r)=r](r)dr (3) f(r)与Φ(r)有关，由中()可算出f(r).利用上述公式，带电球壳在空间 任一点P的电势可表为 V= 球面 =∫Edr 球面r 球面” π2π「∞ (r)oa'sin 0dedpdr f'(oa'sin dedo 如图1-2-6，有几何关系 r2 a2+62-2abcos 6 式中b是球心O到P点的距离，求导，得 rdr=absin 0d0 利用上式，可将上述积分中对0的积分换成对r的积分，积分限为：当0=π 时，r=a+b=r1是r的最大值；当0=0时，r=r2是r的最小值.若P点 在球外，b>a,则r2=b-a;若P点在球内，b<a,r2=a-b;若P点在
·18· 第一章电磁学基本实验定律的建立 球上，a=b,r2=0.故 v(r) =2πo号[f(r1)-f(r2)] (4) 或 P点在球外，V=2b[f(a+b)-f(b-a] (5.1) P点在球上，V=总[f(2a)-f(0] (5.2)9 (5) P点在球内，V=280[f(a+b)-f(a-b】 (5.3) (5)式给出了6≠0时，一个均匀带电球壳在球外、球 上、球内的电势分布.(5)式中的α是球壳上的电量， a是球壳半径，b是球心到任意P点的距离.(5)式 中的函数f(r)由(3)式及(2)式定义，是r的函数且 与8有关，f(r)的具体计算结果见下面的(11)式. 3.6≠0时，两个不联通同心均匀带电球壳在内、 B. 外球壳上的电势 A,a 利用(5)式，可计算两个不联通的同心均匀带电 球壳在内、外球壳上的电势.如图1一2-7，设外球 图1-2-7 壳A和内球壳B的半径分别为a和b,带电量分别为a和B.由(5)式，外球 壳A上的电势VA和内球壳B上的电势VB分别为 V-2a[f2a)-f0)]+3总[f(a+6)-f(a-b】 (6) Va-最[f2b)-f0]+2品[f(a+6)-fa-] (7) 在VA的(6)式中，第一项是外球壳的贡献，用(5.2)式；第二项是内球壳的贡 献，用(5.1)式.在VB的(7)式中，第一项是内球壳的贡献，用(5.2)式；第 二项是外球壳的贡献，用(5.3)式.请注意，在图1-2-6和图1-2-7中符 号a、b的含义不同，在图1-2-7中，a、b分别是外球壳、内球壳的半径： 在图1-2-6中，a是球壳半径，b是球心O点与任一P点的距离，勿混. 又，图1-2-7与Maxwell的实验装置图1-2-5是一致的 4.6≠0且内外球壳联通时，内球壳B上的电量β与6、充电电势V以及 内外半径a、b的定量关系 在一般地给出了(5)、(6)、(7)式后，现在结合Maxwell实验作具体计算
S2.Coulomb定律 ·19· 由Maxwell实验步骤一，按下C(见图1-2-5)，内外球壳联通，并充电到电 势V.设外球壳A的半径为a,电量为a,设内球壳B的半径为b,电量为 β，则外球壳A的电势VA为(6)式，内球壳B的电势VB为(7)式.现因内外 球壳联通并充电到电势V,故VA=VB=V,此即(1)式.把(1)、(6)、(7) 式联立，消去α，得出内球壳B所带电量3为 b[f(2a)-f(0)1-a[f(a+b)-f(a-b)1 B=2V6 [f(2a)-f()][f(26)-f(0)]-If(a+b)-f(a-b)2 (8) (8)式给出了6≠0且内外球壳联通时，内球壳B上的电量β与8、V(充电电 势)及a、b(内外球壳半径)的定量关系.注意，(8)式中的函数f(r)与6有 关，见(3)式、（2)式及下述(11)式.当内外球壳联通时，内球壳B相当于导 体球壳的内表面，因此，(8)式表明，当6≠0时，充电后，导体球壳内表面B 的电量β不为零 5.若≠0，内外球壳联通充电后使之分离，再将外球壳A接地放电留原 处，计算此时内球壳B的电势VB 内外球壳A和B联通充电到电势V后，根据Maxwell的实验步骤二，拉 开C(见图1-2-5)，撤去短导线，使A和B分离，再将外球壳A接地放电 并留原处保持接地， A和B分离后，内球壳B原来与A联通充电时所带的电量B保持不变.A 和B分离后，外球壳A接地，其电势由原来联通充电时的VA=V减小为VA =0,又因A接地后留原处并保持接地，故A的内表面将受带电量B的内球壳 B的静电感应而带电量α'，即A球壳上的电量由充电时的α变为接地放电留 原处后的a'.显然，接地放电后的VA=0正是内外球壳所带电量B与a'共同 贡献的结果.由(6)式，取VA为V'A=0,取a为a',其他不变，可求出a 为 。=-号1980] (9) 式中的β如(8)式所示 同样，α'和B也决定了A与B分离、A接地放电留原处后，内球壳B的 电势VB.由(7)式，取a为a',把(9)式的a'和(8)式的B代入(7)式，得出 v=v1-号982] (10) 这就是待检测的内球壳B的电势V'B.(10)式给出了VB与8、V以及a、b 的定量关系.(8)式与(10)式分别给出了内球壳B的电量β和电势VB,两式 是相关的.显然，充电后B的电量B不为零，A接地放电留原处后B的电势
·20· 第一章电磁学基本实验定律的建立 VB不为零，这一切都是6≠0即电力平方反比律有所偏差的结果， 现在计算函数f(r)的具体形式.由(3)式和(2)式，得 f'()=r∫0(r)d oo =1-8 故 f()1a21+C 式中C为积分常量.当r=0时，f(0)=C,代人 f()-f0)=11 因6《1，利用指数函数的级数展开公式，得 f(r)-f(0)=,1 1-2nd 1-2eb, -1'[1+lnv+分(nr4(6nr4…] ≈r(1+8lnr) (11) 把(11)式代入(10)式，稍加整理，得 Vi=v1-a.(ato)[1+oln (atb)]-(a-b)[1+6ln (a-6)] b 2a(1+8ln2a) 2b(1+8ln2a) [2b+2b8ln2a-(a+b)-(a+b)8n(a+b)+ (a-b)+(a-b)8ln(a-b)] aln +20ln2a-oln (a a-b =a-6h2) a-b (12) (12)式就是Maxwell结合他的实验装置和实验步骤导出的理论公式.(12)式给 出了8与V'B、V以及a、b的定量关系 6.静电计灵敏度的定量表示，Maxwell的结果：6<5×10-5 由(12)式，如果V、a、b已知，那么只要测出VB或确定VB的下限， 即可得出8或确定8的下限.为此，Maxwell的实验步骤三是，把静电计的探 针经外球壳A顶端的小孔探人内球壳B,检测VB.实验结果是“零”，即未 观察到任何微弱的效应.设静电计观察不到任何效应时的最大零点漂移为d