(3)利用向量组的秩判断： 设向量组C1,C2,.,0m的秩为n ∫当r<m时，a1,C2,·,Cm线性相关； 当r=m时，1,02，.，Cm线性无关。 4.极大无关组的选取或证明 (1)初等变换法（最常用) 初等行变换 将列向量组写成矩阵 行阶梯或行最简形矩阵 例如：求向量组 01=(1,-1,2,4),x2=(0,3,1,2),03=(3,0,7,14) a4=(1,-1,2,0),a=(2,1,5,6)的一个极大无关组， 并把其余向量用该极大无关组线性表示。 6
6 (3) 利用向量组的秩判断： 设向量组 1 2 , , , m 的秩为 r 当 r m= 时， 1 2 , , , m 线性无关。 当 r m 时， 1 2 , , , m 线性相关； 4. 极大无关组的选取或证明 (1) 初等变换法（最常用） 将列向量组写成矩阵 ⎯⎯→ 初等行变换 行阶梯或行最简形矩阵 的一个极大无关组， 例如：求向量组 1 2 3 4 5 (1, 1,2,4), (0,3,1,2), (3,0,7,14), (1, 1,2,0), (2,1,5,6) = − = = = − = 并把其余向量用该极大无关组线性表示
解： 1 03 12 0301 -1 3 0 -1 初等行变换 A- 2 1 7 2 5 0 1 4 2 14 0 0 ∴.C1,2,04是一个极大无关组 并且a3=31+&2 as la +la,+la 考虑：还有那些极大无关组？ 01,02,0Cs 0C1,03,C4 01,03,Cs
7 解： 1 2 4 , , 是一个极大无关组 并且 3 1 2 5 1 2 4 3 1 1 1 = + = + + 考虑：还有那些极大无关组？ 1 2 5 1 3 4 1 3 5 , , , , , , 初等行变换 1 0 3 1 2 1 0 3 0 1 1 3 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 7 2 5 0 0 0 1 1 4 2 14 0 6 0 0 0 0 0 A − − = ⎯⎯→
2)极大无关组的证明 方法1：利用定义（必1，C2,C,线性无关； (其它向量都可由C1,C2,.,a,线性表示。 (即向量组中任意+1个向量都线性相关) 方法2：已知c1,C2,.,0,是向量组A的一个极大无关组， 又A中部分组C1,C,1,与a1,02,.,C,等价， 则C,必，C,也是A的一个极大无关组。 例如：设1，Q2,Q3是向量组A的极大无关组，且 B1=x1+a2+x3,B2=x1+a2+2C3, B3=1+2c2+3a3 证明B1,B2,B3也是A的极大无关组。 8
8 (2) 极大无关组的证明 方法1：利用定义 1 2 , , , r 线性无关； 其它向量都可由 1 2 , , , r 线性表示。 （即向量组中任意r+1个向量都线性相关） 方法2：已知 1 2 , , , r 是向量组A的一个极大无关组， 又A中部分组 1 2 , , , r l l l 与 1 2 , , , r 等价， 则 1 2 , , , r l l l 也是A的一个极大无关组。 例如：设 1 2 3 , , 是向量组A的极大无关组，且 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 , 2 , 2 3 . = + + = + + = + + 证明 1 2 3 , , 也是A的极大无关组
证明： (往证1,02,03与B1,B2,B3等价) .B1=a1+02+a3, B2=c1+a2+2a3, B3=ax1+2a2+3a3: ∴向量组B1,P2,P3可由向量组1,2,3线性表示。 又a1=B+B2-B3, &2=B-2P2+阝3， a3=-B+B2 ∴.向量组01,02，C3可由向量组B1,B2,B3线性表示。 .两个向量组等价 .B,B2,B3也是极大无关组。 9
9 证明： （往证 1 2 3 , , 与 1 2 3 , , 等价） 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 , 2 , 2 3 . = + + = + + = + + 向量组 1 2 3 , , 可由向量组 1 2 3 , , 线性表示。 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 , 2 , = + − = − + = − + 又 向量组 1 2 3 , , 可由向量组 1 2 3 , , 线性表示。 两个向量组等价 1 2 3 , , 也是极大无关组
二.矩阵的秩、向量组的秩的求法 初等变换后，看非零行的行数。 三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 关于向量组的秩的两个重要定理： (1)若向量组41,02，.，0，可以由向量组B1,阝2，.，P, 线性表示，则r(C1,c2,.,)≤r(B1,B2,.,B,) (2)若向量组C1,Q2,.,0,可以由向量组B1,B2,.,B, 线性表示，并且C1,C2,.,C,线性无关，那么S≤t 10
10 二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法 初等变换后，看非零行的行数。 三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 关于向量组的秩的两个重要定理： （1）若向量组 可以由向量组 1 2 , , , t 线性表示，则 1 2 , , , s 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) s t r r （2）若向量组 可以由向量组 1 2 , , , t 线性表示，并且 1 2 , , , s 1 2 , , , s 线性无关，那么 s t