西安交通大学：《流体力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 小雷诺数流动

3.2绕园球的缓慢流动 「问题描述 球形颗粒、液滴在气体中,颗粒、 小气泡在液体中相对运动 半径为a的刚性微小圆球以速度U在无界 静止的不可压粘性流体中运动 色雷诺数Re=2m=1,属于斯托克斯问题,采用斯托克斯 方程求解 坐标系建立 选取固连圆球相对坐标系,原点取在球心,x轴与U方向 相反,转化为定常流动问题,且流动为轴对称流动 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 d□11

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 11 2 Re 1 aU  = =  x U a o 8.2 绕圆球的缓慢流动 问题描述  半径为a的刚性微小圆球以速度U在无界 静止的不可压粘性流体中运动 选取固连圆球相对坐标系，原点取在球心，x 轴与U方向 相反，转化为定常流动问题，且流动为轴对称流动 雷诺数 ，属于斯托克斯问题，采用斯托克斯 方程求解 坐标系建立 球形颗粒、液滴在气体中，颗粒、 小气泡在液体中相对运动

控制方程与边界条件 球坐标系下 0 a/0o=0 斯托克斯方程 边界条件 可r→>∞,u= Ucos e, WgsUsin e u =u=0 速度与压强耦合在一起,需联立求解连续方程和斯托克斯方程 (分离变量法求解见吴望一编著《流体力学》北京大学出版社) 流函数方程 EEU=O 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 D 12

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 12 控制方程与边界条件 2 2 E E  = 0 2 1 u p   =  , cos , sin r r u U u U →  = = −    , 0 r r a u u → = =   速度与压强耦合在一起，需联立求解连续方程和斯托克斯方程. （分离变量法求解见吴望一编著《流体力学》北京大学出版社） 流函数方程 边界条件 斯托克斯方程 球坐标系下 0 u =  =0

流函数方程求解 E2EU=O 分离变量法 y=f(rg8 参考第五章理想流体绕圆球流动的流函数y表达式 y'=U(r-=sin 8 P153式523a →>∝ 2 @无穷远处粘性流体流动与理想流体流动的流函数相同 y(oo, 0)=y(o0, 0)>> f(oo)g(0)=Ur- sin e y(r, 0=f(rsin 8 sine ae 边界条件r→a,L=Ln=0 10V r→>a,f=f=0 rsin e ar 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 D 13

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 13 流函数方程求解 1 2 2 sin 2    = Ur 1 2 2 ( ) ( ) sin 2 f g Ur  =   , 0 r a f f → = = 2 2 E E  = 0 参考第五章理想流体绕圆球流动的流函数 表达式 由 , 0 r r a u u → = =  2 1 sin r u r     =  1 sin u r r     = −  3 1 2 2 ( )sin 2 a U r r    = − r → P153 式5.23a 分离变量法   = f r g ( ) ( )   无穷远处粘性流体流动与理想流体流动的流函数相同 2    ( , ) ( )sin r f r =     ( , ) ( , )  =  边界条件

函数/少方程 E2 a sin 0 a ar a0、sine0 sin e a Ey fsin 0) a0 sin 0 a0 EEy=E 0 d f 2f sin e EE 0 2)(-2=0(四阶欧拉方程 [n(n-1)2-2rn2]=[n(n-1)-2]rn2 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 d□14

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 14 n f r = 函数f(y)方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin = sin d f f d d E E E f dr r dr r dr r              = − − −                     2 2 2 2 2 2 2 2 0 d d f dr r dr r       − − =    ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 2 2 sin sin sin sin d f f d E f f r r dr r dr r                    = + = − = −                    ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 d n n n n r n n r r n n r dr r − − −   − = − − = − −             2 2 2 2 sin 1 sin E r r          = +        2 2 E E  = 0 四阶欧拉方程 令

函数/(方程的解 d22 2 [(n-2)(n-3)-2]n(n-1)-2]=0 [(n-2)(n-3)-2]n(n-1)-2]=0 方程根=-1,1,2,4 f(的解 y=f( rsIn f=Ar +A,r+ Ar+Ar y=(4+4x+Ar2+4r)sm20 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 D 15

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 15 ( )( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 0 d d n n r n n n n r dr r dr r −    − − = − − − − − =                   (n n n n − − − − − = 2 3 2 1 2 0 )( ) ( )     n = −1, 1, 2, 4 1 2 4 1 2 3 4 f A r A r A r A r − = + + + ( ) 1 2 4 2 1 2 3 4   A r A r A r A r sin − = + + + 2   = f r( )sin 方程根 函数f(y)方程的解 f(y)的解