西安交通大学：《流体力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 小雷诺数流动

斯托克斯近似 Vp+wu+f Ns=St·Re 若流动的S不太大 Re→0 Ns→0 忽略N-S方程左侧的局部惯性力项,流动化为准定 常问题 忽略质量力 r Vp+wu O 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 D 6

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 6 斯托克斯近似 若流动的 St 不太大 Ns St Re =  u 1 2 p u f t    = −  +  +  r r r  忽略N－S方程左侧的局部惯性力项，流动化为准定 常问题 Re → 0 Ns → 0 忽略质量力 1 2 0 p u   = −  +  r

斯托克斯方程与斯托克斯流动 简化后运动方程 p斯托克斯方程 连续方程 V·=0 斯托克斯流动 满足斯托克斯方程和连续方程的流动 斯托克斯方程近似程度 单粒子在无界流体定常流动Re<01 悬浮液、单粒子在其他边界附近流动Re>1 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 □7

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 7 斯托克斯方程与斯托克斯流动 2 1 u p   =  r 满足斯托克斯方程和连续方程的流动  = u 0 r 斯托克斯方程近似程度 简化后运动方程 连续方程 斯托克斯流动 单粒子在无界流体定常流动Re < 0.1 悬浮液、单粒子在其他边界附近流动 Re > 1 斯托克斯方程

斯托克斯方程的各种表达型式 对斯托克斯方程两侧取散度 P=0压强是调和函数满足拉普拉斯方程 V·L=0 对斯托克斯方程两侧2运算 V2v2l=0速度矢量是双调和函数 对斯托克斯方程两侧取旋度,注意到vxvp=0 V2Ω=0 涡量是调和函数 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 d 8

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 8 对斯托克斯方程两侧取散度 2  = p 0 2 2   = u 0 r 2   = 0 r  = u 0 r   = p 0 2 1 u p   =  r 对斯托克斯方程两侧取旋度，注意到 2 对斯托克斯方程两侧  运算 压强是调和函数 满足拉普拉斯方程 速度矢量是双调和函数 涡量是调和函数 斯托克斯方程的各种表达型式

湖二维不可压编流动流函数方程 二维平面流动 2=-kV2vP92式45b Q 平面直角坐标系 : V2I /Vy=0 a2 OV 球坐标系(轴对称)EEv=01E2=G+smn0a(La Or2 r2 00 sin 0 80 球坐标系下速度 10v 10 和流函数关系 r-sin0 ae rsing a 压强与流函数 aP aP 关系 rr 0 eleY Ey a0 sine ar 球坐标系上述关系式证明见例1(228230) 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 d 9

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 9 二维不可压缩流动流函数方程 2  = − k  r r 2 2   =  0 球坐标系（轴对称） 2 1 , sin r u r     =  1 sin u r r     = −  ( ) 2 2 sin P E r r       =   ( ) 2 sin P E r       = −   2 2 E E  = 0 2 2 2 2 sin 1 sin E r r          = +        二维平面流动 平面直角坐标系 球坐标系下速度 和流函数关系 压强与流函数 关系 2 1 u p   =  r 2   = 0 r 2 2 2 2 2 x y    = +   球坐标系上述关系式证明见例1（228-230） P92 式4-5b

湖京解方法及解的特点 @斯托克斯流动的速度场、压强场,涡量场可以 单独求解 运动学问题与动力学问题相互独立。可先求流函数或速度场, 确定压强场 @运动学方程及边界条件中无流体的物性参数密 度和粘性 流场的运动学变量,如速度、涡量、流线和涡线等与流体的 粘 性和密度无关。 在斯托克斯方程中只出现粘性而没有密度 q动力学变量,如压强、应力和物体所受合力等都只与粘性系数 有关而与密度无关。 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 D 10

2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 10 运动学方程及边界条件中无流体的物性参数密 度和粘性  求解方法及解的特点   斯托克斯流动的速度场、压强场，涡量场可以 单独求解 在斯托克斯方程中只出现粘性而没有密度，  运动学问题与动力学问题相互独立。可先求流函数或速度场， 确定压强场  流场的运动学变量，如速度、涡量、流线和涡线等与流体的 粘 性和密度无关。  动力学变量，如压强、应力和物体所受合力等都只与粘性系数 有关而与密度无关