6 dy a (2-1-14) 得 CA-1B 其右端为已知量,。C是外导数,它不是唯一的,因此有 det(a-4B)=o (2-1-15) 对某解UU(x,y),A和B是x和y的函数在某点(x,y) 若式(2-1-15)有m个互导的实根或有m个线性无关的扌,满 足A=AB,即称方程(2-1-13)为双曲型的,(对应互异实 根,称为严格的双曲型)。这时式(2-1-14)就是它的特征方向 以这方向为切向的曲线就是它的征线。用左乘式(2-1-13)得 特征关系 tB(40 (2-1-16) 影响区域 依赖区域 似空 ≌似时 图2-4拟线性双由型方 图2-5拟线性双曲型方 组的影呲区域和依赖区域 程组的似空与似时曲线 这里不讨论方程(2-1-13)的求解,但应指出:从一点尸向指 定的“上”方向发出的最外侧的两条特征线之间是该点解的彩响 区域,同样向“下”部分是解的依赖区域,见图2-4。另外,如果 条曲线每点的所有特征线方向都指向一边,称为似空的。 如果不同的特征方向指向不同的两边,称x为似时的,见图2 以下就讨论涉及一个似时一个似空坐标轴的双曲型方程组
37 一维非定常流体力学方程经常写为守恒型 OU OF ax 0 F=F(u) (2-1-17 如一维非定常等熵流动方程为 F 方程(2-1-17)可写为 ou A =0 A F (2-1-t8 相当于方程(2-1-13)中B=I,y=,C=0。设方程是双 惭型的,而λ…λm是A的特征值,产…是相应的特征阿量 那么 ARAR 4 (2-1-19 其中R是矩库( R (2-1-20 其中讠就是对应的左特征向量。(当然任意左特征向量集组成 矩阵L不…定满足此式)。方程(2-1-18)左乘L,得特征关系 aU af AL 2-1-21) 其中每一个分量方程即为 oU (2 对一维非定常等熵流动方程.A= 对应 A=a+c,了=(a-c,-1),对应 d (a+c,1),即得出式(2-1-22)可简化为式(2-1-5)和 (2-1-6)
38 如果方程(2-1-18)是线性的,那么式(2-1-22)可写为的 微分关系,而1U称为特征变量。但对非线性方程,特征关系写到 式(2-1-22)为止。 现在说明边界条件个数。设求解区域的左边界为x=0。在边 界上,对应每一个指向区域内的特征线,要给一个边界条件。 当边界条件个数小于未知量个数,可以补充对应向外特征方 向的特征关系。用给定的边界条件和这些特征关系的适当差分格 式,联立求出边界上的未知量。实际计算表明这样的边界处理是 最合理且最可靠的。 例轴对称定常超声速流的基本方程是 A + B D=0 (2-1-23) 式中 4000 01 t 0/04 p 0v00 0 B D (2-1-24) 00 2p2/ 壁面 流线(双重 音速线 超音流 图2-6轴对称喷管超声速流动的特狂级 特征线如图2-6所示(推导略,但可见下节)。 特征方向是
39 tan(= 双重 dz=tan(6±a),sina= 式中q=a2+u2。直线 是似空的,以它做为左边界需给出 4个边界条件。直线z=z不是似空的,以它做为左边界只需给 出3个边界条件,但不可能以它向右推进计算。 第二节双曲型偏微分方程的特征——三个自变量 给定拟线性偏微分方程组 0 OU 式中b和C为m维向量,A和B为mXm阶矩阵,并A、B C依赖于x、y 如二维非定常等熵流动方程可写为 40c2/ t 0 U 00 0y 特征面φ(x,y,t)=0是这样的曲面:在它上面给定L, 不能唯一确定其外导数。引入坐标变换x,”,#→5,,; 这里φ坐标方向是特征面的法向;,7方向是其切向,那么方 程(2-2-1)变为 φaU ax B 0s).0U on +a at an +B ay 67、0U n
不唯一,意味着 det(n,/+nA+n,B)=0 (2-2-3) 见图2-7。对某解U=U(x,y,t),在某点(x,y,;) 如果对任何实的nx,#,式(2-2-3)有m个不同的实根期或 nA÷nB有m个线性无关的左特征向量,则称方程(2-2-1) 为双曲型的 对方(2-2-2),关系式(2-2-3)可写为以下形式 法向量 a, f g(x, y, 图2-?拟线性双曲型方程纽的特征闻 L 的 0 L ax L φ (2-2-4) 或 a 或 0中 U at ay d ag 0.c ay