身二章双曲型偏微分方程 及其初边值问题 第一节双曲型偏微分方程的特征——-两个自变量 首先以熟知的一维非定常等熵流动方程讨论特征方向、特征 线和特征关系,方程可写为 ap aP a2=0 6暑 a (2-1-2) ax 式中 fp) P dp (P) 在式(2-1-1)或(2-1-2)中未知量和的微分方向是不 一致的。线性组合以上方程:4×(2-1-1)+2×(2-1-2),使 其变量的微分方向一致,即使得 4)u+/)c2/p 2p+7>u dx dt 其中以是P和a的共同微分方向,因此 dx z(1 141)和!2)不全为零意味着矩阵的行列式为零。这样得出方程 (2-1-1),(2-1-2)的特征方向为 ax (2-1-3
分别对应(),l(3)=(c,P)和(一c.P)。线性组合成 方程 m° +(+c) 0 Ou +(L+c)。x (2-1-5) OL (一c) 称为方程(2-1-1)和(2-1-2)的特征关系。 引进两族油线a(x,y)=常数和B(x,y)=常数,使上 式(2-1-3)和(2-1-4)分别成立,即引进两族特征线,见图 nx、t)÷常数 B(x,t)=常数 图2-1特征线族 式 2-1-3)~(2-1-6) 可依次写为 (2-1-7) ot 0! ou a a0 (2-1-8) 62 aB 这4个未知量x,d,P.髫的4个偏微分方程也是特线法的
出发方程。式(2-1-8)也可以写为 6? 0 R d 2 6B=0s -de (2-1-9) 其中进-步假设=∫()=A。P和S称为黎曼( Riemann 不变量,分别沿a和β族不变。在一个区域里,如果其一为常 数。例如R不但对固定B沿a不变,而且对所有B不变,那么区 域为简单波区域 从以上可看到三点特征件质: (1)如果存在偏微分方程的线性组合,使所有未知量都在 个方向微分,这个方向称为特征方向。如果一条曲线上的每点 的切向都是特征方向,那么称这条曲线为特征线。对于特征线偏 微分方程(或组合)表示-个内微分关系「内微分即切向微分)。 可见在特征线上不能任意给初值,它必须满足这个内微分关系, 即特征关系,经常称为相容关系 (2)特征线是解的唯一可能的分支线,即如果在特征线上 给初值,那么可以有若于个解,也可以说,它的外导数(非切向 导数)不唯一确定。 (3)特征线可能是解的一阶外导数的间断线。 现在讨论简单的拟线性偏微分方程,并以它说明特征的普遍 意义。考虑 ayc (2-1-10) 式中a,b,c依赖于x.y,甲。这个方程表示解q=甲(x, y)可能的切平,其法向量为 69 ago .x 8y ,-1)。可能的切 平面的包络为一条线,见图2-2,其切向为(a,b,)。以这 方向为切向的曲线称为方程(2-1-10)的“特征线”,它满足常 微分方程
dx -a ds dye b (2-1-11) dop 特征线 x(),y($),卯() (a, 5, c) 特征线 非特征线 图2-2单个拟线性方 图2-3单个拟线性方 程的“特征线” 程的解面 其中8是沿“特征线”的参量。注意:錾常把式(2-1-11)称为 方程(2-t-10)的特征方向,并把以这方向为切向的曲线称为方 程(2-1-10)的特征线。其实它是以上“待征线”在xy平面上的 投影 如果在一条非特征线上给初值(如图2-3中的L上),那么 在每点解常微分方程组(2-1-11)(2-1-12)得出“特征线”族 如以P为起点的曲线C,这族“特征线”生成方程(2-1-10)的 解面。在L上可给出另一初值、如图中也通过P点的虚线,这样 就得到不同的解面这就说明了在特征线上给初值.解的非唯 性 考虑任意曲线C沿它的参量取为5,不妨设d≠0。这 时:ax是外导数、设它在曲线上有间断,记[]-(m) ,下标1和2表示曲线的两侧。由于φ本身连续,故有
3 d.+, op dy ap da opda 0x+ a9 dy ay 那么 a d y 从式(2-1-10)得 o9 十b ax 从而 op x d 因为设[a不为0,所以第二因子为0,即C是特征舰,这说 明特征线可能是解的一阶外导数的间断线。 现在讨论拟线性偏薇分方程组 Ox+B.I (2-1-13) y 式中D,C为m维向量,A、B为mm矩阵;A、B、C依赖于 、y,。利用特征性质(2),即在特征线上给定不能唯 一确定其外导数来讨论方程(2-1-13)的特征线。让8为沿特 征线的参量,内导Qx,d 8xd6yds为已知,不妨设 那么 dx 导中中 代入式(2-1-13)并令