5.2.3拉普拉斯反变换反变换的表达式为称为反演公式。X(s)est dsx(t2元j-8式中α的取值应位于X(s)的收敛域内,即满足：a_<a<aX(s)称为像函数，x(t)称为原函数。反变换的符号为 L-[X(s)]
5.2.3 拉普拉斯反变换 反变换的表达式为 称为反演公式。 式中α的取值应位于 的收敛域内， 即满足 : 称为像函数， 称为原函数。 反变换的符号为 。 X s e ds j x t st + − = ( ) 2 1 ( ) X (s) − + X (s) x(t) ( ) 1 X s - L
5.3拉普拉斯变换的进一步讨论5.3.1定义与说明①从严格的定义上说，单边拉普拉斯变换定义式表明的是仅关注信号的因果部分，而对其非因果部分则不予置理。因此，图5-2中的三个信号具有相同的单边拉普拉斯变换。4(t)x(t)x(c)图5-2三个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换+显然，如将信号的时间起点左移，则三个信号将不再具有相同的单边拉普拉斯变换
5.3 拉普拉斯变换的进一步讨论 5.3.1 定义与说明 ①从严格的定义上说，单边拉普拉斯变换定义式 表明的是仅关注 信号的因果部分，而对其非因 果部分则不予置理。因此，图5-2中的三个信号 具有相同的单边拉普拉斯变换。 显然，如将信号的时间起点左移 ，则三个信号将不 再具有相同的单边拉普拉斯变换
②单边拉普拉斯定义式中的积分下限“0”需做进一步界定。取作“0+”或“0-”时，郁可能得到不同的结果。为“0+”、“0-”分工程上，将变换的下限取为别称为“0+”系统和“0-”系统。由于描述线性系统的积分-微分方程通常取“0-”时刻作为初始条件，因此使用“0-”系统更为方便，不必考虑“0-”时刻到“0+”时刻这一过程中可能发生的状态变化。基于这一考虑，本书采用“0-”系统。·这样，单边拉普拉斯变换的定义为：X(s) = (x(t)e-stdtO
• ②单边拉普拉斯定义式中的积分下限“0”需 做进一步界定。取作“0+”或“0-”时，有可 能得到不同的结果。 • 工程上，将变换的下限取为“0+”、“0-”分 别称为“0+”系统和“0-” 系统。由于描述线 性系统的积分-微分方程通常取“0-”时刻作为 初始条件，因此使用“0-”系统更为方便，不 必考虑“0-”时刻到“0+”时刻这一过程中可 能发生的状态变化。基于这一考虑，本书采用 “0-” 系统。 • 这样，单边拉普拉斯变换的定义为： X s x t e dt st + − − = 0 ( ) ( )
5.3.2单边拉普拉斯反变换[X(s)esdst ≥ 0x(t)= 2元j10t<0从物理意义上讲，上式可理解为将x(t)视为形如e.ejot的幅度随指数形式增长或衰减的正弦波的线性组合。但与傅里叶变换相比，X(s)不能象X(jo)一样具有明确的物理意义，因此X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难以得到物理解释，事实上，由于X(s)是一个复平面上的函数，因此将其视为一个数学上的变换而不强调其物理意义更易理解
5.3.2 单边拉普拉斯反变换 从物理意义上讲，上式可理解为将 视为形如 的幅度随指数形式增长或衰减的正弦波的 线性组合。但与傅里叶变换相比， 不能象 一样具有明确的物理意义，因此 在这个正弦波 线性组合中的作用难以得到物理解释，事实上，由 于 是一个复平面上的函数，因此将其视为一个 数学上的变换而不强调其物理意义更易理解。 = + − 0 0 ( ) 0 2 1 ( ) t X s e ds t j x t j j st x(t) t j t e e X (s) X (s) X ( j) X (s)
反变换的求解1.留数计算：（利用复变函数理论中的围线积分、留数定理和约当引理等）10X(s)e*"ds =ZResk[x(s)e"] t≥02元k=1对于因果信号，上式中所涉及的留数是在X(s)的收敛边界。以左的半个s平面（包括收敛边界）中X(s)es的奇点处的留数
反变换的求解 • 1. 留数计算：（利用复变函数理论中的围线积 分、留数定理和约当引理等） • 对于因果信号 ，上式中所涉及的留数是在 的收敛边界 以左的半个s平面（包括收敛边 界）中 的奇点处的留数。 ( ) = + − = = n k 1 Res k ( ) 2 1 ( ) s t j j s t X s e ds X s e j x t t 0 X (s) 0 st X (s)e