浙江科技大学：《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）第5章 拉普拉斯变换与系统函数

［例5-2]：设信号可表达为：att≥0ef(t):eBt<0求其双边拉普拉斯变换。解：F(s)= J f(t)e-"dt = je-"e-sle-αte-sdt+d0-O0在 Re[]+β<0，上式右端第一项积分为1e-(β+s)Je-Pe"dt= Je-(β+)"dt s+βs+β在Re[]+α>0，第二项积分为1fe-e-"dt = [e-(α+s)}dt -s+αs+α0O

• 设信号可表达为： 求其双边拉普拉斯变换。 解： 在 ，上式右端第一项积分为 在 ，第二项积分为 [例5-2]：      = − − 0 0 ( ) e t e t f t t t F s f t e dt e e dt e e dt s t t s t t s t    + − − − − − + − − = = + 0 0 ( ) ( )   Res+   0      + = − + − = = − − + − − + − − −   s e s e e dt e dt t s t s t 1 ( s)t 0 1 0 ( ) 0 Res+  0      + = + − = = + − + + − + + − −   s e s e e dt e dt t s t s t 1 s t 1 0 ( ) 0 ( ) 0

这样，仅当 Re[s] 同时满足Re[s]<-β和Re[s]>-αF(s)才有意义，也即F(s)的收敛域为s平面上的一个带状域：-α<Re[s]<-β这意味着，仅当α>β时，f(t)才存在双边拉普拉斯变换。若 α≤β，则s平面上不存在使F(s)有意义的区域，因此f(t)不可变换

这样，仅当 同时满足 和 才有意义，也即 的收敛域为s平面上的 一个带状域： 这意味着，仅当 时， 才存在双边拉普 拉斯变换。若 ，则s平面上不存在使 有意义的区域，因此 不可变换。 Res Res  − Res  − F(s) F(s) −  Res  −    f (t)    F(s) f (t)

[例5-3]因果信号f(t)=e-αtu(t)的双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换相同，均为1F(s) :s+αRe[5]>-α收敛域也相同，均为即右半平面（包括大半或小半，视α而定）

[例5-3] • 因果信号 的双边拉普拉斯变换与 单边拉普拉斯变换相同，均为 收敛域也相同，均为 即右半平面（包括大半或小半，视 α而定）。 f (t) e u(t) −t = + = s F s 1 ( ) Res  −

[例5-4] :因果信号fi(t) =e-αu(t)与非因果信号f,(t) =-e-αtu(-t)具有相同的双边拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。F(s)= [e-"u(Re[s]>-αs+α01Re[s]<-αFz(s) = [-e- u(-t)es'dt =Ps+α

[例5-4]： 因果信号 与非因果信号 具有相同的双边拉普拉斯变换表达式，但收敛域不 同。 ( ) ( ) 1 f t e u t −t = ( ) ( ) 2 f t e u t t = − − −    + = = =   + − − + − − − s F s e u t e dt e e dt t s t t s t 1 ( ) ( ) 0 1 Res  −    + = − − = − =   − − − + − − − s F s e u t e dt e e dt t s t t s t 1 ( ) ( ) 0 2 Res −

图5-1示出了这两个信号及其变换的收敛域f(t)10表明，对双边拉普拉斯变换而言，单由变20s平面换的表达式不能判知对应的f(t)tjw信号，反过来，求信号的双边0s平面拉普拉斯变换1时，必须注明其收敛域

图5-1示出了这两个信号及其变换的收敛域： 表明，对双边 拉普拉斯变换 而言，单由变 换的表达式不 能判知对应的 信号，反过来， 求信号 的双边 拉普拉斯变换 时，必须注明 其收敛域