实际应用中，X(s)est的奇点通常为极点。随着极点阶数的不同，留数的计算也不同：①若s=s,是X(s)e"的一阶极点，则Res[x(s)e"@s = s,]=(s - s,)X(s)e"(5-13)②若s=s,是X(s)e"的p阶极点，则(5-14)Res[X(s)es"@s= s,]=- s)px(s)Sp-1)/dsp-i
实际应用中， 的奇点通常为极点。随着极点 阶数的不同，留数的计算也不同： st X (s)e ① 若 i s = s 是 ( ) st X s e 的一阶极点，则 ( ) ( ) ( ) i s s s t i i s t X s e s s s s X s e = Res @ = = − （5-13） ② 若 i s = s 是 ( ) st X s e 的 p 阶极点，则 ( ) ( ) ( ) ( ) i s s p s t i i s t s s X s e p s X s e s s = − − − − = = p 1 p 1 d d 1! 1 Res @ （5-14）
[例5-6]：（板书讲解）求s + 2Re[s] > 0F(s)= (s+3)s+1)的拉普拉斯反变换。解：在Re[s]<0 的半平面上，F(s)共有三个极点，其中，S=0,S=-3为一阶极点，S=-1 为二阶极点。可得：2S+2esrResF(s)es @s = 0|= (s - 0)3s(s + 3)(s + 1)S=0
[例5-6]：（板书讲解） 求 的拉普拉斯反变换。 ( )( ) 2 s s 3 s 1 s 2 F s + + + ( ) = Res 0 解：在 的半平面上， 共有 三个极点， 其中 ， ， 为一阶极点， 为二阶极 点。可得： Res 0 s = 0 F(s) s = −3 s = −1 ( ) ( ) ( )( ) 3 2 e s s 3 s 1 s 2 Res F s e s 0 s 0 s 0 s t 2 s t = + + + = = − = @
S+21-3tRes[F(s)e" @s = -3]= (s + 3)esre12s(s + 3)(s + 1)6=-3S+2d2esrRes[F(s)e't @s = -1s(s + 3)(s + 1)-1) dsS=-1ds+2esrdss(s +3)3t+22
( ) ( ) ( )( ) 3 t s 3 s t 2 s t e 12 1 e s s 3 s 1 s 2 Res F s e s -3 s 3 − =− = + + + @ = = + ( ) ( ) ( ) ( )( ) t s s t s t t e e s(s ) s e s s s s F s s s − =− = = − + + + = + + + + − = = 2 3 2 1 3 2 ds d 3 1 2 1 ds d 2 1 ! 1 Res e @ - 1 1 s -1 2 s t 2
由此最后得：231f（t312?利用留数计算求F（s）的拉普拉斯反变换。与傅里叶反变换相比，拉普拉斯反变换的计算可以借助于留数计算，因此要容易很多
由此最后得： t t f t e t e − − = + − + 2 3 2 1 12 1 3 2 ( ) 3 t 0 利用留数计算求 F（s）的拉普拉斯反变换。 与傅里叶反变换相比，拉普拉斯反变换的计算可 以借助于留数计算，因此要容易很多
还存在着另外一些实用技术，其中部分分式展开法是一种使用广泛又方便有效的技术。其原因为，除了少数例外情况会遇到无理函数形式的象函数外，实用中遇到的问题多为上例中所见的有理分式函数形式的象函数，因此在将其进行部分分式展开后，很容易求出各个分式所对应的原函数从而使问题得解
• 还存在着另外一些实用技术，其中部分分式展 开法是一种使用广泛又方便有效的技术。其原 因为，除了少数例外情况会遇到无理函数形式 的象函数外，实用中遇到的问题多为上例中所 见的有理分式函数形式的象函数，因此在将其 进行部分分式展开后，很容易求出各个分式所 对应的原函数从而使问题得解