g0g0VP-A.mg8md8为在质量自由度方向加单位力所引起的位移！△st表示由于重力mg引起的静力位移！简支梁自振频率的这些表达式说明：对单自由度体系，自振频率可以用刚度k、柔度8或静挠度△。按上式计算：简支梁的自振频率の是结构刚度k和质量m决定的固有特性；结构的自振频率の随刚度k增大而增大；随质量m增大而减小；结构的自振频率の随静挠度△st增大而减小
st g P g mg g m m k = = = = = 1 简支梁自振频率的这些表达式说明： ▪ 为在质量自由度方向加单位力所引起的位移！ ▪ st表示由于重力mg引起的静力位移！ ▪ 对单自由度体系，自振频率可以用刚度k、柔度 或静 挠度st按上式计算； ▪ 简支梁的自振频率是结构刚度k 和质量m 决定的固有 特性； ▪ 结构的自振频率 随刚度k 增大而增大；随质量m 增大 而减小； ▪ 结构的自振频率 随静挠度st增大而减小
[例3-0]比较图示三种单自由度梁的圆频率，mEImEIEImTTT1/21/21/21/21/21/2PlPl3Pl8168PI5PI8PI3241[解]梁的自振频率为：0:m137131620.=8.=按各梁的单位弯矩图，求梁的8：二192EI48EI768EI48EI192EI768EI三种情况的频率：の,=0,=0_=ml3ml37ml30, : 0, : 0, =1:1.51: 2三种情况的频率比：
[例3-0] 比较图示三种单自由度梁的圆频率。 EI m l/2 l/2 EI m l/2 l/2 EI m l/2 l/2 梁的自振频率为： = m 1 [解] 按各梁的单位弯矩图，求梁的： 4 Pl 32 5Pl 16 3Pl 8 Pl 8 Pl 8 Pl EI l 48 3 1 = EI l 768 7 3 2 = EI l 192 3 3 = 三种情况的频率： 1 3 48 ml EI = 1 3 7 768 ml EI = 1 3 192 ml EI = 三种情况的频率比： 1 :2 :3 =1:1.51: 2
3.1.2阻尼自由振动对于有阻尼的单自由度体系(3-2)mi+ci+ky=0自由振动方程：C+=s+82=0特征方程：Ym0·c±0则：XS2m随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界阻尼、低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况
3.1.2 阻尼自由振动 ▪ 对于有阻尼的单自由度体系 ▪ 特征方程： 0 2 2 + s + = m c s ▪ 自由振动方程： m y + cy + ky = 0 （3-2） ▪ ∵ c 0 则： 2 2 2 2 − = − m c m c s ▪ 随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界 阻尼、低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式。 ▪ 本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况
1. 临界阻尼(3-2)mi+ci+ky=0■自由振动方程：特征方程：QS2m当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作c。显然，应有cJ2m=の，即:c. = 2mw(3-15)■ 这时，对应的s 值为： S, =S2 =-c./2m=-の■临界阻尼自由振动方程的解为：(3-16)y(t)=(G, +G,t)e-a
1.临界阻尼 ▪ 当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记 作cc。显然，应有cc /2m=，即： ▪ 特征方程： 2 2 2 2 − = − m c m c s cc = 2m ▪ 这时，对应的s 值为 ： ▪ 自由振动方程： m y + cy + ky = 0 （3-2） ▪ 临界阻尼自由振动方程的解为： s1 =s2 =−cc /2m=− （3-15） t y t G G t e − ( ) = ( + ) 1 2 （3-16）
(3-16)(t)=(G, +G,t)e-ax临界阻尼位移解：j(t)=[-wG, +(1-wt)G, le-or速度解：(G,=yoy(0)= yo由初始条件：j(0)=jo[G,= jo +oyo得到临界阻尼体系反应的最终形式y(t) =[yo(1 + at)+ jotle-ar临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的依照指数规律衰减，回复到零点。(t)临界阻尼的物理意义是：在自由振动反应中不出现震荡所需要yo[%(1+ot )+%le-的最小阻尼值
y0 y( )t y ( )+ t y t e −t [ 1+ 0 ] 0 . t y0 . ▪ 由初始条件： = = 0 0 0 0 y y y y ( ) ( ) ▪ 得到临界阻尼体系反应的最终形式： ▪ 临界阻尼位移解： t y t y t y t e − ( ) =[ ( + ) + ] 0 1 0 ▪ 临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的， 依照指数规律衰减，回复到零点。 t y t G t G e − = − 1 + 1− 2 ( ) ( ) ▪ 临界阻尼的物理意义 是：在自由振动反应 中不出现震荡所需要 的最小阻尼值。 ▪ 速度解： = + = 2 0 0 1 0 G y y G y t y t G G t e − ( ) = ( + ) 1 2 （3-16）