《桥梁抗震》课程教学资源（课件讲稿）动力学（单自由度体系的振动分析）

(3-12)y(t) = Asinat + Bcosat■位移反应：■ 设t=0时： y(0)= yoj(0) = joy(t) = Asinat + BcosatB=yo■ 代入：0ByoA=4o代入：y(t)= Aocosat -Bosinat0jo0Ao■单自由度无阻尼体系运动方程的解：(3-13)yo sin ot + yo cosaoty(t) =0或写成：y(t) = psin(at +0)(3-14)

▪ 设t=0时： 0 0 y( ) = y 0 0 y ( ) = y  ▪ 代入： y(t) = Asint + Bcost y (t) = Acost − Bsint 0 y 0 B 0 y  A 0 B = y ▪ 代入：  0 y A  = ▪ 单自由度无阻尼体系运动方程的解： t y t y y t    ( ) sin cos 0 0 = +  （3-13） ▪ 或写成： y(t) =  sin(t + ) （3-14） ▪ 位移反应： y(t) = Asint + Bcost （3-12） 0

y(t) = lo inat + y. cosax(3-13)0(3-14)可写成：y(t) = psin(at + 0)证明：Ry(t)= pcossinat + psinecosatsin(a+b)=cosasinb+sinacosb三角关系：对比(3-13)：a-ebot ;Jo= pcose显然有：Jo = psinep0yo0ayoyo+y?O=arctanjo0yo0

t y t y y t    ( ) sin cos 0 0 = +  （3-13）  ▪ 三角关系： sin(a+b)=cosasinb+sinacosb ▪ 对比(3-13)： b — t ; a —  0 y  0 y ▪ 显然有：     = cos 0 y y0 =  sin ▪ 证明： y(t) =  cos sint +  sin cost ▪ 可写成： y(t) =  sin(t + ) （3-14） 2 0 2 0 y y  +      =    0 0 y y    = arctan

sinat + ycosoty(t) =(3-13)のy(t)= psin(at +0(3-14)

t y t y y t    ( ) sin cos 0 0 = +  （3-13） y(t) =  sin(t + ) （3-14）

(t)=psin(ot+)定义对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为振幅。运动的角速度称为自振圆频率k（弧度/秒；rad/s）0：m运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期，由于对应每个角增量2元便发生一个完整循环，自振周期就是：2元m（秒；sec)2元k0·单位时间内的循环次数称为自振频率：0（次/秒；Hz）2元

定义 • 对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移 称为振幅。 • 运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期，由于对应每 个角增量 2p 便发生一个完整循环，自振周期就是： （弧度/秒 ； rad/s） m k  = • 单位时间内的循环次数称为自振频率： （秒； sec） k m T p  p 2 2 = = （ 次/秒 ；Hz） p  2 1 = = T f T y(t) =  sin(t +  ) 1sec t  • 运动的角速度称为自振圆频率：

简支梁的自振频率EImL由第2章我们已经推导出用柔度表示的简支梁的运动方程(2-5)mj+gj+=Fa(0)根据定义：等效动荷载为零的情况下产生的振动称为自由振动令体系的等效动荷载F（t)-0，则简支梁的自由振动方程为：mgmj+cj+gy=0mTTT已知：k=则可导出：serg90LPSV4mdmgd

简支梁的自振频率 EI m l 0 1 =  my + cy + y ▪ 已知： ▪ 由第2章我们已经推导出用柔度表示的简支梁的运动方程： my + cy + y = FE (t) （2-5）  1   ▪ 令体系的等效动荷载FE (t)=0，则简支梁的自由振动方程为： ▪ 根据定义：等效动荷载为零的情况下产生的振动称为自由振动。  1 k = ，则可导出： m k  = m mg st m 1 = mg g = P g = st g  =