第3章单自由度体系的振动分析
第 3 章 单自由度体系的振动分析
3.1单自由度体系的自由振动分析y(t)F(t)宁mk，最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系已经得到单自由度体系的运动方程：(3-1)mi+ci+ky=Fp(t)，这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应
3.1 单自由度体系的自由振动分析 ▪ 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程： k c m y( )t F( )t my cy ky F (t) + + = P （3-1） ▪ 这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复 杂结构体系的广义坐标反应
y(t)如果去掉外荷载FmFp(t)=0!k定义等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动结构受外部于扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。（第二章）mj+ci+ky=0(3-2)■运动方程：自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！国初始位移：初始速度；初始位移+初始速度（3-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程：
▪ 运动方程： m y +cy +ky=0 （3-2） 等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动。 定义 ▪ 自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！ 初始位移；初始速度；初始位移+初始速度 ▪ 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 这种振动称为结构的自由振动。(第二章） 如果去掉外荷载 FP (t)=0! k c m y( )t F( )t ▪ （3-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程；
mi+ci+ky=0(3-2)■齐次方程：齐次方程求解：y(t) =Gest可设齐次方程解的形式为：j(t)=Gs?estj(t)=Gsest(3-3)■代入（3-2）可得：(ms?+cs+k)Gest=0(3-4)(ms2 + cs + k) = 0■其特征方程为：C或：+s+0?=0Sm式中の2=k/m，の是体系振动的圆频率根据阻尼系数c值的不同，解出的特征参数s值将具有不同的特性
▪ 齐次方程： m y + cy + ky = 0 （3-2） ▪ 可设齐次方程解的形式为： st y(t) = Ge （3-3） 0 2 + + = st (ms cs k)Ge ▪ 其特征方程为： 0 2 2 + s + = m c 或： s ▪ 代入（3-2）可得： 0 2 (ms + cs + k) = （3-4） st y (t)=Gse st y t Gs e 2 ( )= ▪ 齐次方程求解： ▪ 式中2=k/m，是体系振动的圆频率。 ▪ 根据阻尼系数c值的不同，解出的特征参数s 值将具有不 同的特性
3.1.1无阻尼自由振动mi+ci+ky=0(3-2)自由振动方程：s+0?=0■特征方程：?m(3-9)If c=0:s=±ioo-iax代入(3-2)得：y(t)=G,eia +G,eetiax(3-10)引入Euler方程：子=cosat±isinat得无阻尼自由振动的位移反应：(3-12)y(t) = Asinat + BcosatA和B是由初始条件决定的常数
3.1.1 无阻尼自由振动 ▪ If c=0： ▪ 特征方程： 0 2 2 + s + = m c s ▪ 自由振动方程： m y + cy + ky = 0 （3-2） s = i （3-9） i t i t y t G e G e − = 1 + 2 ( ) ▪ 引入Euler方程： ▪ 代入(3-2)得： e t i t i t = cos sin （3-10） ▪ A和B是由初始条件决定的常数。 得无阻尼自由振动的位移反应： y(t) = Asint + Bcost （3-12）