《桥梁抗震》课程教学资源（课件讲稿）动力学（单自由度体系的振动分析）

2.低阻尼(3-2)自由振动方程mji+ci+ky=0■特征方程：12m如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m<の，这时，特征方程根式中的值必然为负值，则s值成为：Cio?-2mCSE=引入符号：02m2mC.■其中表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：s=-w±i/?-()? =-w±io/1-2

2.低阻尼 ▪ 特征方程： 2 2 2 2  −      = −  m c m c s ▪ 自由振动方程： m  y  + cy  + ky = 0 （3-2） ▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m< ，这时，特 征方程根式中的值必然为负值，则s 值成为： 2 2 2 2       = −  − m c i m c s  ▪ 引入符号：   m c c c c 2 = = 2 2 2 s= − i  −( ) =− i 1− ▪ 其中 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则： = m c 2

0, =0/1-5■引入符号：，其中の。称为有阻尼振动频率。: 则 s=-±i/1-2成为：s=-o±iod低阻尼自由振动方程：mi+ci+ky=0的解为：J(t)=G,e-5a+iot' +G,e-5a-iost =e-5(G,eiost +G,e-iost),tiat= cosot ±isinote引入Euler方程：■则y(t)=e-to (Asinoat + Bcosoat)(3-18)

▪ 成为： d s=−i t i t t i t d d y t G e G e −  +  −  −  = 1 + 2 ( ) ▪ 低阻尼自由振动方程： m  y  + cy  + ky = 0 的解为： e t i t i t    = cos  sin  ▪ 引入Euler方程： 2 ▪ 引入符号： d =  1 −  ▪ 其中d 称为有阻尼振动频率。 2 ▪ 则 s=− i 1− ( ) t i t i t d d e G e G e −   −  = 1 + 2 y(t) e (Asin t Bcos t) d d t =  +  − ▪ 则 （3-18）

y(t) =e-ot (Asinoat + Bcoso,t)(3-18)j(t)=-we--α (Asinwat+ Bcosoat)+e-Ea (aAcosoat-w,Bsinoat)■利用初始条件：y(0) = yoB=yoA= yo +ayoj(O)= y。 -→ j=-Eyo+OaA酒Od得到低阻尼体系动力反应的最终形式jo +y.soy(t) = e-Eotsinwat + y,coswatOd

       +   +   = − t y t y y y t e d d d t ( ) sin cos 0 0 0  ▪ 利用初始条件： 0 0 y( ) = y 0 0 y ( ) = y  ▪ 得到低阻尼体系动力反应的最终形式： y(t) e (Asin t Bcos t) d d t =  +  − （3-18） ( cos sin ) ( ) ( sin cos ) e A t B t y t e A t B t d d d d t d d t +   −  =−   +  −  −   0 B= y y  0 =−y0 +d A d y y A  + = 0 0 

低阻尼体系动力反应：jo+y.soy(t) = e-sotsinwat + y cosoatOd写成矢量表达式：y(t) = pe-5a sin(のst + p)(3-20)运动的振幅（矢量的模）和初相位分别为：W.yo+yosw@=arctanjo+ yoso0

▪ 写成矢量表达式： ( ) sin( )  d   = + − y t e t t 运动的振幅（矢量的模）和初相位分别为： 2 2 0 0 0         + = + d    y y y          + =     0 0 0 y y y  d arctan （3-20）        +   +   = − t y t y y y t e d d d t ( ) sin cos 0 0 0  ▪ 低阻尼体系动力反应：

物理意义：y(t)= pe-5a sin(wat + p)4x(t)Rpe-50rTo=低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率の，并围绕中心位置振荡，而其振幅则随时间呈指数e-ot衰减。如果反应的时间足够长，最终会衰减到零

y0  R I t  y0 . x(t)  − e t q  2p T = D D t ( ) sin( )  d   = + − y t e t t ▪ 物理意义： ▪ 低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率d ，并围绕中 心位置振荡，而其振幅则随时间呈指数e -t 衰减。如果 反应的时间足够长，最终会衰减到零