平稳时间序列的定义严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定
平稳时间序列的定义 ◼ 严平稳 ◼ 严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为 只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移 而发生变化时，该序列才能被认为平稳。 ◼ 宽平稳 ◼ 宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳 性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定， 所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证 序列的主要性质近似稳定
平稳时间序列的统计定义1满足如下条件的序列称为严平稳序列V正整数m,Vt,t2,,tmET，V正整数t,有Frt(X1,X2,,Xm)= F,(Xi,X2,..",Xm)1满足如下条件的序列称为宽平稳序列1) EX? <0, VteT2)EX,=μ,u为常数，VtT3) y(t,s)=y(k,k+s-t), Vt,s,k且k+s-teT
平稳时间序列的统计定义 ◼ 满足如下条件的序列称为严平稳序列 ◼ 满足如下条件的序列称为宽平稳序列 ( , , , ) ( , , , ) t 1 ,t 2 t 1 2 m t 1 ,t 2 t 1 2 m F x x x F x x x m = + + m+ 正整数m, t 1 ,t 2 , ,t m T，正整数，有 t s k k s t t s k k s t T EX t T EX t T t t = + − + − = ， 且 为常数， 3) ( , ) ( , ) , , 2) , 1) , 2
严平稳与宽平稳的关系一般关系严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而宽平稳序列不能反推严平稳成立特例不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例如服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平稳
严平稳与宽平稳的关系 ◼ 一般关系 ◼ 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平 稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而宽平稳序 列不能反推严平稳成立 ◼ 特例 ◼ 不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例 如服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列 ◼ 当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平 稳
平稳时间序列的统计性质常数均值自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关■延迟k自协方差函数r(k)=(t,t+k), Vk为整数延迟k自相关系数r(k)Pk=r(0)
平稳时间序列的统计性质 ◼ 常数均值 ◼ 自协方差函数和自相关函数只依赖于时 间的平移长度而与时间的起止点无关 ◼ 延迟k自协方差函数 ◼ 延迟k自相关系数 (0) ( ) k k == (k) = (t,t + k),k为整数
自相关系数的性质规范性对称性1非负定性非唯一性
自相关系数的性质 ◼ 规范性 ◼ 对称性 ◼ 非负定性 ◼ 非唯一性