522工作空间的确定 、解析法 由操作机工作空间的形成可以看出,其工作空间W(P)的 界限曲面∑m(P)可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成 的曲线族或曲面族的包络。因此,多次运用单参数曲面族的 包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。 若在空间有一条曲线正存在,它上面的每一个点都是与曲 线族{T}中的每一条曲线相切的切点,曲线中的不同的线与 相切于不同点,称为该曲线族的包络。 若存在一曲面Σ,与曲面族x}中的任一曲面都沿一条曲 线C相切,这时Σ就称作该曲面族的包络
7 1、解析法 5.2.2 工作空间的确定 由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 的 界限曲面 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成 的曲线族或曲面族的包络。因此，多次运用单参数曲面族的 包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。 0 ( ) W Pn 0 ( ) W P n 若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲 线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与 相切于不同点，称 为该曲线族的包络。 若存在一曲面 ，与曲面族 中的任一曲面都沿一条曲 线 相切，这时 就称作该曲面族的包络。 Ct
下面给出一种分组求解操作机工作空间W(P)包络界限曲 面w(P)的基本思想。 对于自由度F≤6的机器人操作机,将操作机的前三杆(或前 关节)划为一组,在第三杆上设置参考点P(相当于腕点),求 其绕各关节运动形成的曲面的包络,得到界限曲面二参考 将后面各杆(4、5、6杆)划为另一组,在末杆上取 点 P(可取手心点),求出其绕后面关节运动形成的曲面(线)的 包络,得到界限曲面Σm)° 让Em()沿m(e)运动,就形成了双参数曲面族,可用相应 的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面m(P) 可见,求工作空间的问题,可以归结为求曲面(线)族的包 络问题
8 下面给出一种分组求解操作机工作空间 包络界限曲 面 的基本思想。 0 ( ) W Pn 0 ( ) W P n 对于自由度 的机器人操作机，将操作机的前三杆(或前 三关节)划为一组，在第三杆上设置参考点P3(相当于腕点)，求 其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面 。 将后面各杆（4、5、6 杆）划为另一组，在末杆上取参考点 P6(可取手心点)，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的 包络，得到界限曲面 。 让 沿 运动，就形成了双参数曲面族，可用相应 的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 。 F 6 0 3 W P( ) 3 ( ) W P n 3 ( ) W P n 0 3 W P( ) 0 ( ) W P n 可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包 络问题
分别用r、Σ;{}、{};F、Σ表示母线、母面,曲线族、曲 面族以及它们的包络。 曲线族的包络: 设有曲线用向量方程表示: ()=(x(),y(,() 式中t是曲线T的几何参数。 再设曲线I以a为参数运动,则在空间相应于不同的a,就 形成了一系列的以『为母线的曲线族。记作{T},其方程为: B r=r(t, a)=(x(t, a), y(t, a),=(t, a) 一式中是曲线的运动参数。曲线族的包络方程为: 0 式中=Or ot’la /0a
9 分别用 、 ； 、 ； 、 表示母线、母面，曲线族、曲 面族以及它们的包络。 曲线族的包络： 设有曲线 用向量方程表示： ： r r t x t y t z t = = ( ) ( ( ), , ( ) ( )) 式中t是曲线 的几何参数。 再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的 ，就 形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作 ，其方程为: ： r r t x t y t z t ( , , , , , , ) ( ( ) ( ) ( )) = = 式中 是曲线 的运动参数。曲线族的包络方程为： ： ( , ) 0 t r r t r r = = 式中 rt r ， t = r r =
曲面族的包络: 设有曲面Σ用向量方程表示: 式中W,w是曲面Σ的几何参数。 再设曲面2以a为参数运动,得到曲面族{x},其方程为 ru v C 曲面族的包络Σ的方程为: r=r(uva r,×r,)·F 0 式中r+=br 5 Or aa 10
10 曲面族的包络： 设有曲面 用向量方程表示： ： r r u v = ( , ) 式中 u，v 是曲面 的几何参数。 再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族 ，其方程为: ： r r u v ( , , ) = ： ( , , ) ( ) 0 u v a r r u v r r r = = 曲面族的包络 的方程为： 式中 r u r ， ， u = r r = v r r v =
若再以B为参数运动,得到曲面族{},其包络(称为 次包络)的方程为 r=r(u,v,a,B) ru 0 式中r*=Or * 水 O O 水水 水水 O
11 若 再以 为参数运动，得到曲面族 ，其包络（称为 二次包络） 的方程为: ： ( , , , ) ( ) 0 ( ) 0 u v a u v r r u v r r r r r r = = = 式中 r u r ， u = v r r v = r r = r r =