D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.03.039 北京钢铁学院学报 J.Beijing Univ,of Iron Steel Technol. Vo1.9No.31987 正二十面体正五角十二面体的几何 》 参数及其在准晶格中的应用 闵乐泉 (数学第二教研室) 摘 要 本文推导出正二十面体和正五角十二面体的几何参数，探讨了平面理想准晶 格模型〔1)〔2)的两种空间结构，得到了一种以五角十二面体为特征的平面格子，利 用所得到的几何参数，也可对以上两种多面体为基本单位的其它空间结构进行研 究. 关键词：正二十面体，正五角十二面体，几何参数，三维准晶格，坐标变换， Geometrical Parameters to Icosahedron,Ortho- pentagonal Dodecahedron and Their Applications in Quasicrystal Lattices Min Lequan Abstract In this paper the geometrical parameters to icosahedron and orthopen- tagnal dodecahedron are obtained.Two kinds of 3-dimension quasicrystal lattices are discussed.A new kind of lattices with the characters of or- thopentaqnal dodecahedron is given.By the geometrical parameters,other kinds of 3-dimension quasicrystal will be dealt with. key words.Icosahedron,orthopentagonal dodecahedron,geometrical 1986一10-20收积 136
北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 。 正二十面体正五角十二面体的儿何 参数及其在准晶格中的应用 脚 阂 乐 泉 数学第二 教研室 》 ，嗯 摘 要 本文推导 出正二十面体和正五角十二面体的几何参数 ， 探讨了平面理想准晶 格模型〔 〕 〔 〕的两 种空间结构 ，得到了一种以五角 二面 体为特征的平面格子 ，利 用所得到的几何参数 ， 也可对以 上两 种多面体为基本单位的其它空 间结构进行研 究 咬 关键词 正二 面体 ， 正五角 二面体 ， 几何参数 ， 三维准晶格 ， 坐标变换 。 ， 一 迎 电 、 一 · 只 ， 一 ， ， 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．03．039
parameters,3-dimension quasicrystal lattices,coordinate trans- formation. 1正二十面体的几何参数 设某二十面体的十二个顶点内接于半径为P的球面上，其球心选为坐标原点O,Z 轴通过顶点C、，C如图1（该图画的是正二十面体，下面的分析并未要求必为正二十 面体)，在上半球和下半球分别均布着顶点C:,C3、C5、C7、C和C2、C4、C6、C8、 C10。过原点O与Z轴垂直作X一Y平面，取X轴使得C:在X一Y平面的投影恰在正X轴 上。用球坐标来表示空间中点(X,Y,Z): X=psinφcos0,y=psinφsinf,Z=pcosΦ (1.1) 由图1和(1.1)立得： C=(0,0,p),C=(0,0,-p)(1.2) C:=p(sin中cos元i-1) 5 sinosin-1),pcos中) 5 i=1,3,5,7,9 (1.3) C:=p(sin中cosπ(i-1) 5 tb) sin4sin(i-1）,-pcos中)， 5 i=2,4,6,8,10 ·(1.4) 从而可知对于i=1,3,5,7,9有 1=|C-C:|=p√2(1-cosφ)(1.5) 和1=1'=C-Ci,i=2,4,6,8,10(1.6 图1(a)二十而体(b)二十而体的坐标系 另一方面从(1.2)至(1.4)知'· Fig.1(a)Icosahedron (b)coordinate system for icosahedron 11=ICi-Ci.:=2 psinosin/5, 1=1,3,5,7 (1.7) 11=1'=1C1-C:+|,1=2,4,6,8 (1.8) 12=lC:-C1+,=pV2sin2Φ(1-Cosπ/5)+4cos2φ， i=1,3,5,7,9 (1.9) 137
， 一 ， 刀 二 正 二 十面体的几何 参数 设 某二 十面 体的十二 个 顶点 内接 于半径为 的球面 上 ， 其球心 选 为坐标原点 ， 轴 通过 顶点 、 ， 己如 图 该 图画 的是 正二 十面 体 ， 下面 的分析并未 要求 必为正二 十 面体 ， 在上半球 和下半球分别均布着顶点 、 。 、 。 、 、 。 和 、 ‘ 、 、 、 ，。 。 过 原点 与 轴垂直作 一 平面 ， 取 轴 使得 ，在 一 平面 的投影恰 在 正 轴 上 。 用球 坐标 来表示 空 间中点 ， ， 中 。 ， ’ 小 。 ， 小 一 由图 和 立 得 ， ， ， ， ， 一 小 兀 一 小 兀 一 ， 小 ， ， ， ， 。 小 兀 一 小 兀 一 一 小 ， ， ， ， 。 从而可知 对于 ， ， ， ， 有 一 、 侧 一 小 即‘ 和 ， 一 ， 二 ， ， ， ， 另一方面从 至 知 ’ 。 图 二 而 休 二 面体的坐标系 一、 ， ， 一 、 ， ， ， ， 小 二 ， 。 ，尹 ， 一 ， ， 。 一 ， 侧 小 一 二 “ 小 ’ ， ，
若该二十面体顶点连线形成的三角形是等腰的，则应有1=12，由（1.5)、(1.9) 解出 pW2(1-cosΦ)=pV√2sin2φ(1-cosπ/5)+4cos2Φ 整理后得到（舍去无意义的负值） c0s中=-1±V1+4c0s(/5)(1+c0s/5)=1 (1.10) 2(1+cos/5) 5 因为c0sm/5=(√5+1)/4(3)，再因 siab=号 sig=√5-v (1.11) ,故从(1.11)、(1.10)、(1.7)、(1.5)推出 l=2Pw√/6-Y5, 1=PW2(1-1) (1.12) 10 5 可见11=1=12，从而得到下面的 命题1设I是一个内接于半径为P的球面的二十面体，若其十二个顶点坐标满 足公式(1.2)、（1,3)、(1.4)，则I的每个面是等边的相同三角形（从而I为正 二十面体)当且仅当每个面是等腰的相同三角形，且有 中=arccos55 1 1=P 10-2/5 (1.13) a) 2正五角十二面体的几何参数 色 设某正五角十二面体的二十个顶点内接于半径 为P的球面上。与前节相仿选取坐标轴X,Y,Z如 图2(a)、（b)所示，用球坐标(1.1)将各顶 点表为 Cl4=p(sin中1cos2m(i-1）, b) 5 sin中1sin2x(i-1）,co5中1)， p 5 i=1、2、8、4、5 (2.1) C2:=p(sin中cos_2mi-1）, 5 图2(a)正五角十二面体 sin中2sin2r(i-1）,c0s中2)， (b)正五角十二面体心坐标系 5 Fig.2(a)Orthopentagonal dodecahedron i=1,2,8,4,5 (2.2) (b)Coordinate syatem for it. 138
若该二 十面 体顶点连线形成的三角形是 等腰 的 ， 则应有 ， 由 、 解 出 侧 一 小 侧 “ 小 一 二 “ 小 整理后 得到 舍去无意义 的负值 小 一 士 了 二 二 二 与 二 一 ， 气 。 夕 斌 因为 二 侧百 ‘ ， 再 因 小 一』二 、 。 一里一 亏下万了 一 甘 占 舀 舀 二 ， 一 了 ’ ， 。 · ， 故从 、 、 、 推 出 ， 。 店二 万一 几 二 “ 尸 － 了石万了二二二 ， 了 。 可 见 ， 从而得到 下面 的 命题 设 是 一个 内接于半径 为 的球面 的二 十面 体 ， 若其十二 个顶点坐标满 足 公式 、 、 ， 则 工的每 个面是等边 的相 同三角形 从而 为正 二 十面体 当且 仅当每个面是 等腰的相 同三角形 ， 且有 小 。 。 训 ，万 ’ ‘ 了 二岑互 。 正 五 角 二面 体 的几何参数 呼 设某正五 角十二面体 的二 十个 顶点内接于半径 为 的球面 上 。 与前 节相仿选取坐标轴 ， ， 如 图 、 所示 ， 用球 坐标 将各 顶 点表为 叮众了丫丫护 竺淤落嘟 、 侧以 右 。 全 毛冬二二 才 ’ 小 北 一 小 兀 一 小 ， 、 、 、 、 。 二 小 兀 一 小 小 兀 一 ， ， 小 ， 图 “ 正五角 二面体 正五角十二面体心坐标系 ，一 夕 ” “
Cg=p(sin中acosπ(2i-1）,sin中25inr(2i-1,-cos中2)， 5 5 i=1,2,3,4,5 (2.3) C=p(sin中：cosr(2i-1）,sin中1sinr（2i-1）,-cos中1)， 5 5 i=1,2,3,4,5 (2.4) 从而可知 1=lC1-C=psin0√5-5，i=1,2,8,4, (2.5) 2 1'=|C4:-C4i+t1=1 (2,5) 1,=1C1:-C21|=pW/2(1-sinφ1sinφ2-cosφ1cosφ2)， i=1,2,3,4,5 (2.6) 1'1=|C3:-C4:|=1 ·i=1,2,8,4,5 (2.7) 1:=C5:-C3=8p√sin4:sia0+c00:, i=1,2,8,4,5 (2.8) 由正五角十二面体的定义知应有· |C:-C1:+:|2=1C2:-C31l2 (2.9) 将(2.9)整理后得到 sin2Φsin2（r/5)+sin2φ2c0s2(/10),=1, (2.10) 另一方面还应有 |C11-Cit:|2=|C1:二C2:|2 (2.11) 将上式整理后得到 2sin2中，sin2(π/5)+sin中sin2中。+cos中1cos2φ2=1 (2.12) 令 k=sin中i/sinφz (2.13) 用i。分别乘以(2.10)、(2,12)后得到 k2sin2(r/5.)+cos2(π/10)=1/sin2φ2， (2.10)' 1-k2 2 sind=(/5)k2+k+sin22 N sin21=1 1 ,sin中2 （2.12) 139
兮 小 究 一 一 二 ， 小 兀 一 一 小 ， ， ， ， 。 卜 小 兀 一 一 ， 小 究 一 一 小 ， ， ， ， 。 从而 可知 ’ 、 一 ‘ 、 ， 、 ‘ 一 ， ， ‘ 一 “ ， 小 扩 一 训 一 ， ， ， ， 。 ‘ 召 它 一 小 ， 小 一 小 ， 小 ， ， ， ， ‘ 一 二 ， 二 二 ， ， ， ， ， 一 、， 斌 ‘ ‘ 命 尸 ·。 ‘ ， ， ， ， ， 由正五 角十二面体 的定义知 应有 ‘ 一 ‘ 十 “ “ 一 “ 将 。 整理后 得到 。 “ 小 “ “ 小 二 二 另一方面 还应有 ‘ 将上式整理后得到 一 ‘ 汁 “ 二 ‘ 一 “ “ 。 “ 小 “ 二 小 小 小 ， 中 。 令 小 小 。 用 名小 分别乘以 飞 、 ， 后得到 “ “ 二 “ 二 二 “ 小 二 尹 ， ， ， ， 、 ， 。 ， ， ， 艺 甲 一 、 匕 少 一 十 十 ‘ 一一 一 了 一一 一 一 ▲ 一，了 不布一一 一 ， 一 甲 ‘ 一 甲 小
将（2.10)′代人(2.12)'，整理后有 sin(π/5)k4+2sin2(π/5)k3+〔-4sin.2(元/5)cos2(π/10) +cos2(π/10)+sin2r/5)〕k2-2cos2(π/10)k+cos3(π/10)=0 因c0sπ/10=， 5+√58故上式可化为 8 20k4+40k3-2(5+V√5)k+(5+√V6)2=0 (2.14) 易知(2.14)的一个根为 k=V5-1 (2.15) 2 另外三个根是 k:=√A+B+√A-B-5+8, 3 6 k:=0:√A+B+o:/A-B-Y5+8, 3/ 6 k=o:√A+B+o:3/A-B-5。+9, 3/ 其中 A=(145+1), 27 B=4+1-(÷ 27 01=-1+-3, 02=-1-V-8 9 2 可见k2,k3为复根，而k1>1.1,故均不合题意。将（2.15)代入（2.10)'、(2,13) 后解出 sin中2=.W 10+2V5 (2.16) 15 sin中1=N 10-2V6 (2.17) 15 从（2.5)、(2.17)解出正五角十二面体的棱长1为 1=P 0√=p() (2.18) 15 2 综上所述得到下面的 命题2 一个内接于半径为的球面的正五角十二面体的几何参数为 sia中：-√10-是五，si:=/o+2y互，1=（压gvs） 15 15 140
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