求解机器人工作空间的包络法

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1993.02.013 第15卷第2期 北京科技大学学报 Vol.15 No.2 1993年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.1993 求解机器人工作空间的包络法 刘淑春*马香峰· 摘要：详细论述了用微分几何中的包络法来确定机器人工作空间的问题。基于把工作空间的形 成分成了两部分，从而提出了用双参数包络理论确定工作空间界限曲面的方法。此法直观，实 用、易于作图，并给出了应用实例。 关键词：机器人操作机，工作空间、包络，曲线族，曲面族 An Envelope Method to Resolve the Work-Space of Robot Liu Shuchun Ma Xiangfeng ABSTACT:An envelope method based on the theory of envelope with double-parameter is detailed.When the boundary surface of the work-space is determined,process of its forming is divided into two parts.The method is intuitive and easy to use graphically. Finally,an example to illustrate the method is introduced. KEY WORDS:manipulator,work-space,curve set,surface set 机器人工作空间问题是关系到机器人操作机的结构形式、结构参数、关节变量范围的 设计与确定的重要问题。关于工作空间的研究方法，有的采用解析法，如矢量法、数值计 算法等；有的采用图解法和计算机图学方法等。一般来说，解析法较为繁琐、缺乏直观 性；图解法较为直观，但对复杂的多杆操作机绘图图解比较难于实现。本文采用的把工作 空间的形成分为两部分，利用双参数包络理论确定工作空间的界限曲面的方法较为简易、 直观，又易于作图。 1求解工作空间的包络法 11工作空间及其形成 *1992-05-16收稿 *机铖I程系(Department of Mechanical Engineering) 第一作者：女、56岁、副教授

第 15 卷第 2 期 北 京 科 技 大 学 学 报 l” 3 年 3 月 J o u rn a l o f U n i v e r s i ty o f S e i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e ij i n g V o l . 1 5 N o . 2 M a r . 1 993 求解机器人工作空 间的包络法 刘 淑春 * 马 香峰 ` 摘要 : 详细论 述 了用微分几 何中的包络法来确 定机器人工作空间 的问题 。 基于把工 作空 间的形 成分成 了 两部分 , 从而提 出 了佣 双 参数包 络理论确定工作空 间界 限曲面 的方 法 此法直观 、 实 用 、 易于作图 。 并给出 了应用 实例 。 关 键词: 机器 人操作机 , 工 作空 间 , 包络 , 曲线族 , 曲面族 A n E n v e l o P e M e t h o d t o R e s o l v e t h e W o r k一S P a c e o f R o b o t L 艺u S h u ch un ` M a X 活a 双沙 尹瞥 A B S T A C T : A n e n v e l o P e m e t h o d b a s e d o n t h e t h e o r y o f e n v e l o P e w it h d o u b l-e P a r a m e t e r 1 5 d e t a il e d . Wh e n t h e b o u n d a r y s u r af e o f t h e w o r k 一s Pa e e 1 5 d e t e r m i n e d , P r o e e s s o f it s fo mr i n g 1 5 d iv id e d i n t o wt o P a r t s . T h e m e ht o d 1 5 i n t u it i v e a n d e a s y t o u s e g r a P h i e a ll y . F i n a ll y , a n e x a m P l e t o ill u s t r a t e t h e m e t h o d 1 5 i n t r o d u c e d . K E v w o R n S : m a n ip u l a t o r , w o r k一 s p a c e , e u r v e s e t , s u r af e e s e t 机 器人工作空 间问题是关系到 机器人操作机 的结构形 式 、 结构参数 、 关节变量范围的 设计 与确定的重 要 间题 。 关于 工作空 间的研究方法 , 有 的 采用解析法 , 如矢量法 、 数值计 算法等 ; 有 的采用 图解 法 和计算机 图学 方法等 。 一般 来说 , 解 析法 较为繁琐 、 缺乏 直观 性; 图解法 较为直观 , 但对复杂 的多杆操作 机绘图 图解 比较难于 实现 。 本 文 采用 的把工作 空间 的形 成分为两部分 , 利用 双参数包络理论确定工 作 空间的界 限曲面 的方法较为简 易 、 直观 , 又易于作图 。 1 求解工作空间的 包络法 1 . 1 工作空 间及其形成 1 9 9 2一 0 5一 1 6 收稿 机械工程 系 ( D印a r mt e n t o f M e e h a n i e a l E n g n e e ir n g ) 第一作者 : 女 、 56 岁 、 副教授 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1993. 02. 013

·202 北京科技人学学报 1993年N0.1 所谓机器人工作空间、即：固定在机器 人操作机末端执行器（或称手抓.末杆）上 某参考点P,在机器人运动过程中、所有可 能达到的位置点的集合，或者说所有的可达 点占有空间的体积，这一空间称为机器人操 作机的总空间，记为W(P)。在总空间内 末端执行器可以从任何方位到达的，点所构成 的空间称为灵活工作空间，记为W(P)。总 空间去掉灵活空间所余下的空称为附属工 图】多杆操作机简图 作空间，记为W(P)。 Fig.1 Multi-link manipulator 如图】所示、设在该操作机末杆（即n杆上固定有参考点P。·则当P,点与S。坐 标系一起绕乙。轴旋转时在S。,坐标系中形成工作空间为W。-(P人该工作空间是 个圆.记作C。,。继之、n-1杆带动C。.绕乙。-，轴转动在S,-:坐标系中形成P.的 T作空间为一环状面，i记作W。,(P.)或Tous(P)。再由n-2杆带动Tours(Pn) 绕Z。,轴转动、在S。-,坐标系中形成工作空间为旋转体，记作W。-,(P,) 或SR(P,)。这样、再连续绕前面的各轴旋转得到的P,点的工作空间仍然是旋转体，丁 是绕乙，-，轴旋转作S,-,,坐标系中形成的工作空间是： W,+wP,)=R(Z。,n,W。,P月 12求解工作空间的包络法 为了求解和确定工作空间旋转体的边界曲和边界曲线，本文利用分组包络法辅之 以图示求解和表达机器人工作空间，其基本方法是：自工作空间的形成可以看出，对具 有n杆的操作机、在第n杆上的参考点P。米说、当固联坐标系S,带动P,绕乙，轴旋 转时形成·条在S,,坐标中的曲线C(如果第n个关节为移动副则得~条线。为了 便F叙述，下面都假定该关节为旋转关节)·C。随S。,~起绕L。,轴旋转时形成 曲间G。.·该曲面再绕乙：轴旋转、形成单参数曲面族，记作G小该曲面族的包 络记作G。·它就是C作空间W,(P,)的界限曲面∑wn,（Pn可简i心为Σw,.再 令G。,为母面、与S。,起绕乙。，轴旋转形成曲面族G。义可得任Sn4坐标中 的包络，称作G。的次包络、记作G。。它就是1作空间W。,(P)的界限曲 面Σw,《P,)…。此下上、就可得到W。(P,)(即在S。坐标中W。(P,)的界限 曲面Σw,(P),也就是G。的n一2次包络、其方程可多次运用单参数曲面族的包络公 式顺序求得，这将是非常繁琐的。下面给：一种利用上述包络法的分组解法川。它的基本 思想是： (1)将操作机的前关节（或前杆）划为第】组在第关节上置参考点P,(即腕

2 0 2 北 京 科 技 大 学 学 报 19 9 3 年 N o . 2 所谓机器 人工作空间 , 即: 固定 在机器 人操 作机末端执行器 (或称手抓 , 末杆 ) 卜 某参考点 尸 , 在机器 人运 动过程 中 , 所有可 能达到的位置点的集合 , 或者说所有的 可达 点 占有空间 的体积 , 这 一 空间称 为机 器 人操 作机的总 空间 , 记为 伴 ( )P 。 在总 空间 内 末端执行器 可以 从 任何方位到达 的点所构成 的空 问称 为灵活 工作空间 , 记为 讨尸飞)P 。 总 空 间去掉 灵活空间 所余 下的空间称为附属 工 作空 间 , 记 为 甲()P 。 如 图 1 所 示 , 设 在 该 操 作机 末 杆 ( 即 八一 叹 丫 , 了钱、 一 \ 了 犷二 图 1 多杆操作 机简图 F i g . l M u l ti 一 Ii n k m a n i p u l a t o r 。 杆 卜固 定 有参 考点 尸 ,, , 则 当 尸 ,, 点 ’ j s 。 坐 标 系 一 起绕 Z 。 轴旋 转 时 在 s , : , 坐标 系 中形 成 1 一 作空间 为 砰 , , 一 ( p , J .) 该 F 作 空 问是 一 个圆 , 记 作 C , , 。 继 之 , ” 一 l 杆 带动 C 。 , , 绕 Z , 一 , 轴 转动 在 s, , 一 : 坐标 系 中 形成 尸 。 的 工 作空 间 为 一 环 状 面 , 记 作 附 , 、 : ( 尸 , , ) 或 T o r u s (尸 , , ) 。 再 由 。 一 2 杆带 动 T O ” sr (尸 , , ) 绕 Z , 一 2 轴 转 动 , 在 S ,, 一 、 坐 标 系 中 形 成 工 作 空 间 为 旋 转 体 , 记 作 W ,: , ( 尸 , , ) 或 S R (尸 。 ) 。 这 样 , 再连 续 绕前 18 的各轴 旋转 得 到 的 尸 , , 点的 工 作空 间仍然 是旋转体 , 一 r 是绕 Z , 一 , 轴 旋转 在 S , , 一 , , 二 、 、 坐标 系 中形 成的 工作空间是 : 附 。 一 (, 、 , , ( p 。 ) 一 R 、 、 t (Z , · () , , )[ `f , , ( p , )] 1 . 2 求解工作空 间的 包络法 为 了求解 和 确定 〔 作空 l句旋 转 体 的边 界曲 面 和边 界 曲线 , 本 文利用 分 组 包络 法辅 之 以 图示 求 解 和 表 达机 器 人 I 一 作空 间 , 其基 本 方法 是: 自 仁作 空 间的 形 成 可 以 看 出 , 对具 有 。 杆 的操作机 · 在第 。 杆 卜的参 考 点 尸 , 来说 , ` 场k[] 联 坐标 系 S ” 带 动 尸 , , 绕 Z ,, 轴旋 转时 形成 一 条在 S 坐 标 中的曲线 〔 ( 如 果第 ,` 个关 节为移 动副 则得 一 条 改线 。 ” l 为 了 尸 便 厂叙述 , 卜面 都瑕 定 该关 节为旋 转 关 节) , C 随 S 尸 G 。 该曲面 再绕 Z 轴旋 转 , 形成 尸 , , 1 吐 单参数 曲 面族 , 一 起绕 记作 轴旋 转时形 成 - 该 曲 l’ 族 的包 它 就 是 I几作 空 间 体 , , _ 飞 (尸 , , ) 的 界 限 曲 面 乙 , (尸 , : )( ` ,了简 记为 艺, , ’ 气一G 曲络 记lft 作G 令` 。 。 为 母面 , 的 包络 , 称 作 G ` j s , 一 起绕 Z 轴 旋转 形 成 曲 面 族 {G 的 一 飞次包络 , 。 如此 下去 , 月 、 记作 氛 , , 。 )I , . 它 就 是 l _ 作空 间 附 又 可 得在 S (尸 ,, ) 的界 限曲 3 ) 。 再 坐标 中 就可 得到 计 也就是 G 的 n 一 2 次包 络 , 、产.、口. 面 艺w 。 _ ; ( 尸 。 曲面 艺。 , 。 ( p , , 式顺序求 得 , 思 想是: I , , . 这 将是非 常 繁琐 的 [ p , . ) ( 即在 5 .。 坐标中 体 ,: 一 2 ( p 。 ) 的 界 限 具 方程 可多 次运 用 单参数 曲 面 族 的 包络 公 卜面 给 出 一 种 利用 卜述 包络 法的 分组 解法 l] 。 它的 基 本 (l ) 将操 作 机的 前 几关 节 咬或 前 沛=)t 划 为第 l 组 在第 几关 节 卜置参考点 尸 、 ( 即 腕

Vol.15 No2 求解机器人工作空间的包辂法 ·203· 点)，通常把第四关节固联坐标系S,的O4点选作P,(=O,),先求出P,随坐标系S, 绕Z,在S:坐标系中形成的曲线C。,，再求出C。,随坐标系S,绕Z,轴旋转，在坐标 系S,中形成G。,，再求G,随坐标系S,绕乙，轴旋转时的包络G。,·即得P,点在S。 中的工作空间W。(P,)的界限曲面Σw(三G。)为了指明Σ。是在S。坐标中，可表示 为Σ°e。,上角“0”表示S。坐标系。 (2)将4、5、6关节划为第2组，在第六关节上取参考点P。(可取手心点)，相仿 地求出C,·G。,及Σw,P6三G。,)。要特别注意2w,p6)是S,中的曲面。而作为S3 中的参考点P,的O4,构成了∑w,(p,)。所以2w,(p，)可以当作新的母面，随S,一起 按某种相对位置沿Σ”，(p,)运动，这就形成了双参数曲面族，可用求解双参数曲面族的 包络面公式求出P,在S。中所形成的工作空间W。(P)的界限曲面Σ“。为了表明Σw。 在S。中，可记为Σw。 (3)当4、5、6轴线交于一点时，∑，p6)是以O,为心的球而。这时W,(P)的 界限曲面Σw,(p,)是∑w(p,)的等距曲面，当Σw。(p。)处于外侧时，是W,(P)的界限 曲面，处于内侧时，是W(P。)的界限曲面。 (4)对5或4自由度操作机，问题可归结为求双参数曲面族的包络问题。对5自由 度，参考点P,在S4形成曲线C,在S,中形成曲面G,，以G,为母面，沿P,( 三O,)形成的工wp,)运动，形成双参数曲面族{G。},它的包络怎。，就是参考点P 在S。中形成的工作空间W。(P,)的界限曲面Σ。(p,),其方程可同样用双参数曲面族的 包络公式求得。对4自由度，参考点P,随S,绕Z,轴旋转，在S,坐标系中形成曲线 C,在S,坐标系中形成曲面G。,在S,中形成曲面族{G。,、得包络G,。G。,再 随S,绕乙，轴旋转，形成曲面族{G。,、得二次包络G。,文献[5已经证明，曲面的二 次包络与其双参数包络等价，故仍可用双参数包络公式求出2w,(三G。,)的方程式。 (5)如果只求工作空间Z。轴截面的外围线「w,(p,),问题还可以进一步简化，即 求出w。(p,)的轴(Z。)截线「w。(p,)和Σw,(p6)的轴(Z,)截线「w,(p6),然后 以「，p6)沿「w。p,)移动，得单参数曲线族{Tw,(p。)},它的包络Tw,p6)即W(P6) 的轴Z。的剖面外形线「r。p。(=「w,(p。). (6)当操作机的前三关节为旋转关节，且第二与第三关节轴线Z,、Z,平行时，可 不用包络面法即可求出W。(P)的界限面，因为这时P,在第二关节的固联坐标S,中形 成曲线C。,，而C,在第一关节的固联坐标S,中只能形成平面曲线族{C。,,设该曲线 族有包络C。,，当S,带着C,绕Z,轴旋转时，就形成了旋转曲面G。,该旋转曲面的

V ol . 巧 N o Z 求解机器人工作空间的包络法 · 2 0 3 · 点 ) , 通常 把第 四 关节固联坐 标 系 S 、 的 0 4 点选 作 p 3 ( 三 0 4 ) , 先求 出 尸 3 随坐标 系 5 3 绕 2 3 在 5 2 坐标系 中形 成的 曲线 C p 。 , 再求 出 C p : 随 坐标系 5 2 绕 2 2 轴旋 转 , 在坐 标 系 S , 中形 成 G p 3 , 再求 G p 3 随坐标 系 S , 绕 Z 〕 轴 旋转时 的包 络 G p 3 , 即得 尸。 点在 s 。 中的工 作空 间 W 。 (尸 3 ) 的界 限 曲面 公 f 。 ( 三 G , 3 ), 为 了指 明 乙` 。 是在 S 。 坐标 中 , 可 表示 为 艺。 飞, 。 , 上 角 “ o ” 表 示 S 。 坐标系 。 (2) 将 4 、 5 、 6 关节划 为第 2 组 , 在第六关节上取参考点 尸 。 (可取 手心点 ) , 相仿 地 求出 C . 、 G 。 及 乙、 ; 伽 ` )( 三 G . ) 。 要 特别注 意 艺w ; 幼 ` ) 是 S ; 中的 曲面 。 而作为 S : 一 J - 一 一 , 6 ’ 一 凡 一 - 一 ’ 3 丫 6 2 、 一 几 ’ “ 一 ’ “ ` 一 , 一 ’ 一 3 丫 6 ” 一 一 3 ” - 一 一 “ ” ` ” / ` 一 3 中的参考 点 尸 3 的 0 4 , 构 成 了 艺 w 6 伽 3 ) 。 所 以 艺w 3 伽 6 ) 可 以 当作新的母 面 , 随 5 3 一 起 按 某 种相 对位置 沿 艺w 6 伽 3 ) 运动 , 这 就形 成 了双 参 数曲 面族 , 可用 求解双 参数 曲 面族 的 包 络 面公式 求出 尸 。 在 S 。 中所形 成的工作空间 W 。 (P 6 ) 的界 限曲面 艺、 。 。 为 了表明 艺、 。 在 s 。 中 , 可记为 艺。 、 。 。 ( 3 ) 当 4 、 5 、 6 轴线交 于 一点 时 , 艺。 , 3 (P 6 ) 是 以 0 4 为 心 的球面 · 这 时 牙 。 ( p 6 ) 的 界 限曲 面 艺w , 伽 6 ) 是 艺 w 。 伽 : ) 的等距曲面 , 当 Z w 。 伽 。 ) 处于 外侧 时 , 是 体 。 (P 6 ) 的界 限 曲面 , 处于 内侧 时 , 是 W乞(P 6 ) 的界 限曲面 。 (4) 对 5 或 4 自由度操 作 机 , 问题可 归结 为求双 参数 曲面族 的 包络 问题 。 对 5 自由 度 , 参考 点 p s 在 5 4 形 成曲 线 C p 。 , 在 S 。 中形 成 曲 面 G p s , 以 G , 5 为 母 面 , 沿 尸 3 ( 兰 0 4 ) 形 成 的 艺w 。 切 3 ) 运 动 , 形成双参 数 曲面族 {{ G , 5 }}, 它 的包络氏 , 就 是参考点 尸 5 在 S 。 中形 成的工作 空 间 砰。 (尸 5 ) 的界 限 曲面 万 w 。 切 5 ), 其方程 可 同样 用双参数 曲面族 的 包络公式求 得 。 对 4 自由度 , 参考点 尸4 随 S 、 绕 Z 、 轴 旋转 , 在 5 3 坐标系 中形成 曲线 气 4 , 在 5 2 坐标系 中形 成 曲面 G : 4 , 在 S { 中形 成 曲面 族 { G p ; } 、 得包络G p 4 O G , ; 再 随 “ , 绕 Z , 轴旋转 , 形 成曲面 族 { G p 4 } 、 得二 次包 络氏 4 。 文献 5[] 已 经证明 , 曲面 的二 次包络与其双参数包络 等价 , 故仍可 用 双参数包络公式求出 乙` 。伽 4 )( 三 G , 4 ) 的方程式 。 (5 ) 如果 只求工作空 间 Z 。 轴截面 的 外 围线 r w 。 咖 。 ), 问题还 可 以 进一步 简 化 , 即 求 出 艺、 。 (尸 3 ) 的 轴 ( 2 0 ) 截线 r w o 伽 3 ) 和 艺 , , 3 ( 17 6 ) , 的 轴 ( Z 。 ) 截线 r 林, 3 伽 6 ) , 然 后 以 r 飞、 3伽 6 ) 沿 r , 、 。 (P 3 ) 移 动 , 得单参数 曲线族 { r 、 3 伽 6 )} , 它 的包络 r 、 3 幼 6 ) 即 W 。 ( p 6 ) 的轴 Z 。 的剖 面外 形线 r w 。幼 6 )( 三 r 、 3 伽 6 )o (6) 当操作机 的 前三关 节 为旋转关节 , 且第二 与 第三 关节 轴线 2 2 、 2 3 平行时 , 可 不用 包络 面法 即可 求出 W O ( 尸 : ) 的界 限面 , 因为 这时 尸。 在第二关节 的固联 坐标 5 2 中形 成曲线 几 3 , 而 气 3 在第一关节 的 固联 坐标 S , 中只能形成平面 曲线族 { c , 3 } , 设该曲线 族 有包 络 C p 飞 , 当 S , 带着 C , : 绕 Z , 轴旋转时 , 就形 成 了旋转曲面 G p : , 该旋转 曲面的

·204· 北京科技大学学报 1993年No.2 一条母线就是「W。(P,G,的方程极易得出。 可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面族和曲线族的包络问题，包络的计算 公式可参考文献[5]。为了与文献一致，我们分别用「、：{「、{∑；「、Σ表示母线、 母面；曲线族、曲面族以及它们的包络 2用包络法分组解法求解机器人操作机 工作空间界限曲面的实例 如图2所示为PUMA560型机器人，试求其在关节变量无结构限制条件下（即0°< <360°)的工作空间界限曲面。 解： (1)分析 由图2可将0，三0，三0。=P,定为手腕点，把6个关节分为两组： ①因为后三关节(J,二4、5、6)为轴线、相交于W的旋转关节，故固联于杆6上 的任一参考点P。,在S,中形成以P,为心的球面Σw,(P6它就是P。在后三关节工作 空间的界限曲面，简记为Σ， ②前三关节(J,=1、2、3)中，因为Z,∥Z,所以作为杆3上的点P,在S,中形 成圆（图3），该圆以日，为变量绕Z,旋转形成平面圆族，该圆族有两包络，它们的所在平 面平行于S,中的X,O,Z,面。当S,带着它们绕Z,轴旋转时，在S。中形成双层球面( 图4：它们是P,在S。中所形成的工作空间界限面Σw。(P,),简记作Σ。 0. 图2PUMA560轴测简图 图3前三坐标系及P,形成C。 Fig.2 ISOmetric drawing of PUMA560 Fig.3 Forward three link frames and formation of Cr by P3

4 2 0 北 京 科 技 大 学 学 报 1年9 9 3 o N Z 一条母 线就是 r ` 。 (P 3 , G) , , 的方 程极 易得 出 。 可 见 , 求工作 空 间 的 问 题 , 可 以 归 结 为 求曲面族和 曲线 族 的 包络 问 题 , 包 络的 计算 公式 可参考 文献 【5] 。 为 了与 文献一 致 , 我 们分别用 r 、 ;Z { r } 、 {划; r 、 艺 表 示 母线 、 母面 ; 曲线族 、 曲 面族以 及 它们的包络 。 2 用 包络法分组解法求解机器人操作机 工作空 间界 限曲面的 实例 如图 2 所示为 P U M A 5 60 型机器 人 , 试求 其在关节 变量 无结构 限制条件 下 ( 即 0 “ 《 民< 3 60 。 ) 的工 作空 间界 限 曲面 。 解 : ( l ) 分析 由图 2 可将 口 4 三 O , 三 O 。 三 尸 , 定 为手 腕点 , 把 6 个关节分 为 两组 : ① 因为后 三 关 节 (J ; 二 4 、 5 、 6) 为轴 线 、 相 交 于 附 的旋 转关节 , 故 固联 于 杆 6 上 的任 一 参考点 尸6 , 在 5 3 中形 成 以 尸 , 为心 的 球面 艺 w 3 (尸 。 ), 它就 是 尸。 在后 二 关节工作 空间 的界 限 曲面 , 简 记 为 艺 , 。 ② 前三 关节 (J , 二 l 、 2 、 3) 中 , 因为 2 2 刀Z 〕 , 所 以 作为杆 3 上 的点 尸 , 在 5 2 中形 成圆 ( 图 3) , 该 圆以 0 2 为变量绕 2 2 旋转形成平 面 圆族 , 该圆族有两 包络 , 它们 的所在平 面平行 于 5 . 中的 x , O : Z , 面 。 当 5 1 带 着它 们绕 2 1 轴旋转时 , 在 S 。 中形 成双 层 球面 ( 图 4) ; 它们是 尸。 在 S 。 中所 形成 的工作 空 间界 限面 艺w o (P 3 ), 简记作 艺。 。 、 _ _ ` 0 . 图 2 P U M A 560 轴测简图 Fi g . 2 I S 0 m e州 e d r a w i n g o f P U M A 5 60 图 3 前三坐标系及 尸, 形成 C P 、 F ig . 3 F o 川 a dr t h er li n k fr a m se a n d fo mr a it o n o f C P 、 b y 已

Vol.15 No2 求解机器人工作空间的包络法 ·205· ③将∑，的球心P,沿∑。面移动，得Σ。的两个双参数曲面族，其包络是两个等距 曲面∑，和∑2，它们就是所要求的界限曲面（图S)即2w,(P,)和Σw,(P:)。 (2)求解 为节省篇幅，仅求腕点P,(三O,)工作空间的界限曲面 ①由图1知 P,=(a,d,o)(在S,中可见图3) 求T,T,T(略)即S,坐标在S,中，S,在S,中，S,在S。中的齐次坐标变 换。 ②求P,绕Z,形成的C。,，表示在坐标系S,中，得： rx2=a,C8,-d4S8,+a2 C元，=TP,=y,=a,S0,+d,C8, (1) (Z,=d, 由式(1)可知C。是-个圆，半径为R=√@+d,圆心在(x2,y,22) =(a2'o,d,且该圆在平面Z,=d3上。 ®Cp,绕Z,轴旋转，形成曲线族{C。,表示在坐标系S,中，有： (C,)=T3ci x,=(a,C6,-d,S9,+a,)C02-(a2S8,+d,C0)S02 y1=d3 (2) lz1=-S92(a,C0,-d,S6,+a)-C02(a,S0+d,C0 由式(2)可以看出，该曲线族为平面曲线族，由包络公式得平面曲线族的包络条件 式为：（注意到0，→1、0，→a) =x1.2-ax1.1=0 中 Γa0,a0,a0,a6, (3) 得： [x,=c0,a±√a+d) y=d (4) z,=-S0,a,±√a+d) 它的轴剖线「。是： [x。=√c20,R+d 「o:yo=0 (5) l。=-S82R

o l V . 1 5 0 N 2 求解机器人工作 空间的包络法 0 5 2 ③ 将 艺 的 3 球心 p 。 沿 Z 。 面 移动 , 得 艺。 的两个 双参数曲 面族 , 其包络是两个等距 曲面 艺。 , 和 艺。 2 , 它们就是所要求的界 限 曲面 (图 5 ) 即 艺w 。 ( p 3 ) 和 艺w 3 ( p 3 ) ( 2 ) 求解 为节省篇幅 , 仅求腕点 尸 3 ( 三 口 3 ) 工作空 间的界 限曲面 ① 由图 l 知 p , 一 ( a , , d 4 , o ) (在 S 。 中可见 图 3 ) 求 T ; , T ; , T { ( 略 ) ” p 、 3 坐标在 、 2 中 , 、 2 在 、 ; 中 , 、 , 在 、 。 中的齐 次坐标变 换 。 ②求尸 3绕 Z : 形成的 C : 3 , 表示在 坐标系 5 2 中 , 得 : c 毛r 3 一 式J 尸 一j { ` 2 一 “ 3 c 0 3 一 “ 4 “ 日3 十 “ 2 { ’ 2 一 “ 3 “ 口3 + “ 4 c “ 3 t Z Z 二 叭 由 式 (l ) 可 知 C , 3 是 一 个 圆 , 半 径 为 R - 、 / 。 { +d 弓 圆 心 在 ( x ( l ) y Z , 艺 2 ) 一 a( 2 , “ , 么), 且 该圆 在平面 2 2 = d 3 上 。 ③吼 3绕 2 2轴旋转 , 形成曲线族 { C , 3 } , 表示在 坐标 系 S , 中 , 有 : { C 二 3 } 一 T ; · C 二 3 一 d 4 s 口3 + a Z ) C 口2 一 ( a 2 5 0 3 + d 4 C 0 3 ) S e Z 5 0 2 ( a 。 C e 3 一 d 4 S O 。 + a Z ( 2 ) C 0 2 ( a 3 5 0 3 + d 4 C e 3 由包络公式 得平面 曲线族的 包络条件 y Z `1.t .J } = ( a 。 C o 二 d : 由式 ( 2) 可 以 看出 , 该 曲线族 为平面 曲线族 , 式 为 : (注意到 0 3 ” r 、 日2 ” a ) 中一 华 · 华 一 华 · 华 一 。 a 口 2 刁U 一 a 口 z 刁口 2 ( 3 ) 得 : C P 3 { x , 一 e o Z ( a 士了 a : + 、 ; ) 少 1 = d 3 艺 , 一 50 2 a( 2 土了可认 ( 4 ) 它 的轴剖线 r , 是 : U = O ( 5 ) = 一 s 8 2 R o yoxooz r