4.23DFT的隐含周期性 DFT变换对中,W具有周期性: k=w W T(k+mN) 其中k,m,N均为整数 因此有 X(k+mN) ∑ x(n)Wn (k+mN)n ∑x(m)WM=X(k n=0 结论:X()具有隐含周期性,且周期均为N。 同理可得x(m+mN)=x(n) 16
16 4.2.3 DFT的隐含周期性 DFT变换对中， kn WN 具有周期性： (k mN) N k WN W + = 其中k，m，N均为整数 因此有 − = + + = 1 0 ( ) ( ) ( ) N n k mN n n WN X k mN x ( ) ( ) 1 0 x n W X k N n kn = N = − = 结论：X(k)具有隐含周期性，且周期均为N。 同理可得 x(n + mN) = x(n)
周期序列与周期延拓序列 任何周期为N的周期序列x(n)都可以看作长度为N的有 限长序列x(n)的周期延拓序列,而x(m)则是x(m)的一个 周期,即 (n)=∑xn+mN n=-60 x(n)=x(m)·R(m) 引入运算符(m)N,表示n对N求余数,即如果 n=MN+n1,0≤n1SN1,M为整数 则(m)列=n1 17
17 周期序列与周期延拓序列 任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有 限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个 周期，即 x n( ) x n( ) =− = + m x(n) x(n mN) ~ ( ) ( ) ~ x(n) = x n RN n 引入运算符((n))N，表示n对N求余数，即如果 n = MN + n1，0≤n1≤N-1，M为整数 则 ((n))N = n1
例:序列的周期延拓 例如,№=8,x(m)=x(m),则有 x(-1)=x(-1)8=x(2)=x(7) 于是 ∑x(n+mN)=x(Om) n=-0 18
18 例: 序列的周期延拓 例如，N=8， ~ x(n) = x((n))8 ，则有 8 x x ( 1) (( 1)) − = − = x(?) =x(7) (9) ((9)) (1) ~ 8 x = x = x ( ) ( ) (( ))N m x n x n mN x n =− = + = 于是
主值序列 如果x(m)的长度为N,且x(m)=x(),则可写出X(m) 的离散傅里叶级数表达式 X(k)=∑X(nh ∑x(m)NW=∑x(mW n=0 x(n)= N ∑X(k)W× ∑X(k)WN N 式中 k=0 X()=X(k).R(k) 结论:有限长序列x(m)的离散傅里叶变换Ⅺ(k),正好 是x(m)的周期延拓序列x(m)N的离散傅里叶级数系数Y(k) 的主值序列。 19
19 主值序列 如果x(n)的长度为N，且 ，则可写出 的离散傅里叶级数表达式 ( ) (( ))N x n x n = x n( ) − = − = − = = = = 1 0 1 0 1 0 ( ) (( )) ( ) ~ ( ) ~ N n kn N N n kn N N N n kn X k x n WN x n W x n W − = − − = − = = 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) 1 ~ ( ) ~ N k kn N N k kn N X k W N X k W N x n 式中 ( ) ( ) ~ X(k) X k R k N = 结论：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好 是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 的主值序列。 ( ) ~ X k
4.3离散傅里叶变换的基本性质 线性性质 循环移位性质 循环卷积定理 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性 20
20 4.3 离散傅里叶变换的基本性质 ◼ 线性性质 ◼ 循环移位性质 ◼ 循环卷积定理 ◼ 复共轭序列的DFT ◼ DFT的共轭对称性