离散傅里叶变换的导出 由于数字计算机只能计算有限长离散的 序列,因此有限长序列在数字信号处理 中就显得很重要。 Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算 机进行数值计算 针对有限长序列“时域有限”这一特点, 导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)
6 离散傅里叶变换的导出 ◼ 由于数字计算机只能计算有限长离散的 序列，因此有限长序列在数字信号处理 中就显得很重要。 ◼ Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算 机进行数值计算。 ◼ 针对有限长序列“时域有限”这一特点， 导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)
42离散傅里叶变换的定义 ■离散傅里叶变换的定义 ■DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 ■DFT的隐含周期性
7 4.2 离散傅里叶变换的定义 ◼ 离散傅里叶变换的定义 ◼ DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 ◼ DFT的隐含周期性
421离散傅里叶变换的定义 n离散傅里叶正变换(DFT定义 x(n)长度为N,作为周期序列的一个主值区间 X(k)=DF[x(m)=∑xOn0≤K≤N-1 n=0 离散傅里叶反变换(DFT定义 x(n)=DFTIX(k) ∑X(k)WK0≤n≤N1 N k=0 式中 N -e
8 4.2.1 离散傅里叶变换的定义 ◼ 离散傅里叶正变换(DFT)定义 − = = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n kn n WN X k DFT x n x 0≤k≤N -1 − = − = = 1 0 ( ) 1 ( ) [ ( )] N k kn WN X k N x n IDFT X k 0≤n ≤N -1 N j N W e 2 − = x(n)长度为N，作为周期序列的一个主值区间 ◼ 离散傅里叶反变换(IDFT)定义 ◼ 式中
例:离散傅里叶变换 例41:设有限长序列为x(n)=R4m),求x(m)的 傅里叶变换,以及4点、8点、16点DFT 解(1)x(m)的傅里叶变换 +∞ K(e")=∑R(m=∑e 1-e n=-0 2 e(e 120 120 e /o5/o eJo12)=e j30/2 sin(2o) sin(@/2) (2)X(m)的4点DFT 4.k=0 X1(k)=∑x(m)W4=∑W n=0 n=0 0.k=1.2.3
9 例4.1 ：设有限长序列为x(n)=R4 (n)，求x(n) 的 傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。 解（1）x(n)的傅里叶变换 （2）x(n)的4点DFT 例：离散傅里叶变换 3 -j4 j -j -j 4 -j 0 1 e (e ) ( )e e 1 e n n n n X R n + =− = − = = = − -j2 j2 -j2 -j / 2 j / 2 -j / 2 e (e e ) e (e e ) − = − -j3 / 2 sin(2 ) e sin( / 2) = 3 3 1 4 4 0 0 4, 0 ( ) ( ) 0, 1, 2,3 kn kn n n k X k x n W W = = k = = = = =
(3)x(m)的8点DFT X()=∑x(mW如=∑W如=∑ 0 n=0 3sin“k k=0,1 sin -k 8 (4)X(n)的16点DFT X(k)=∑x(m)W6=∑W 16=e 16 =0 0 3 sin k k=0,1,,15 sin k 10
10 （3）x(n)的8点DFT = = = = 3 0 8 7 0 2 8 ( ) ( ) n kn n kn X k x n W W = − = 3 0 8 2 n j kn e k k e j k 8 sin 2 sin 8 3 − = k=0，1，…，7 （4）x(n)的16点DFT = = = = 3 0 1 6 1 5 0 3 1 6 ( ) ( ) n kn n kn X k x n W W = − = 3 0 16 2 n j kn e k k e j k 16 sin 4 sin 16 3 − = k=0，1，…，15