第一篇力学30高台距水面距离为h.把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力：运动员人水后垂直下沉，水对其阻力为b2，其中b为一常量.若以水面上一点为坐标原点0，竖直向下为0y轴，求：（1）运动员在水中的速率与y的函数关系；（2）若b/m=0.40m-1，跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率减少到落水速率%的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等.）分析该题可以分为两个过程，入水前是自由落体运动，人水后，物体受重力P、浮力F和水的阻力F，的作用，其合力是一变力，因此，物体作变加速运动.虽然物体的受力分析比较简单，但是，由于变力是速度的函数（在有些问题中变力是时间、位置的函数），对这类问题列出动力学方程并不复杂，但要从它计算出物体运动的位ty置和速度就比较困难了.通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程.这也成了解题过程中题2=15图的难点，在解方程的过程中，特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定解（1）运动员人水前可视为自由落体运动，故人水时的速度为Vo=2gh运动员人水后，由牛顿定律得P-F,-F=ma由题意P=F、F,=bu2，而a=du/dt=（du/dy），代人上式后得- by = mv(dv/ dy)考虑到初始条件y。=0时，。=2gh，对上式积分，有f(-)dy = [dmJoo=Vge-by" = 2ghe-by/m（2）将已知条件上b=0.4m，=0.1代人上式，则得my= -ln =5. 76 mbvo2-16一质量为m的小球最初位于如图（a）所示的A点，然后沿半径为的光滑圆轨道ADCB下滑.试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力PDG分析该题可由牛顿第二定律求解.在取自然坐标的情况下，沿圆弧方向的加速度就是切向加速度α，与其相对应的外力F是重力的切向分量mgsinα，而与法向加速度α。相对应的外力是支持力F和重力的法向分量mgcosα.由此
第二章31牛顿定律CP(a)(b)题2-16图可分别列出切向和法向的动力学方程F=mdv/dt和F。=ma.由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的，因此，需应用积分求解，为使运算简便，可转换积分变量.·该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度，方法比较简便但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力解小球在运动过程中受到重力P和圆轨道对它的支持力F.取图（b)所示的自然坐标系，由牛顿定律得du(1)F,=-mgsinα=mdtmv?(2)F, =Fn - mgcos α=Rdsrdad,代人式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条，得dt=！由0=dtdt件，进行积分，有pdu(- rgsin α)da得2rgcosα则小球在点C的角速度为=(2gcosα）/r@XFy=mo?由式(2)得+mgcosα=3mgcosαr由此可得小球对圆轨道的作用力为PDGFn'=-Fn=-3mgcosα负号表示F与e反向.光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内2-17
32第一篇力学侧作圆周运动，其摩擦因数为μ，开始时物体的速率为，求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从。减少到号%时，物体所经历的时间及经过的路程分析运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的，因而，可先分析动力学问题.物体在作圆周运动的过程中，促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力F和环与物体之间的摩擦力F，而摩擦力大小与正压力F成正比，且F与F又是作用力与反作用力，这样，就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了，从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程解（1）设物体质量为m，取图中所示0oe的自然坐标，按牛顿定律，有FNmv?F~=ma,LepR:do.F,=ma,=mdt由分析中可知，摩擦力的大小F,=-μF，由上述各式可得题2-17图dμR"-di取初始条件=0时=o，并对上式进行积分，有[d=-RduuJo2RuoV=R +Dolut（2）当物体的速率从减少到。时，由上式可得所需的时间为2t'=Rwo福物体在这段时间内所经过的路程孔RuoR+volutRPDGu2-18一物体自地球表面以速率竖直上抛.假定空气对物体阻力的值为F=km2，其中m为物体的质量，k为常量.试求：（1）该物体能上升的高度；
第二章牛顿定律33（2）物体返回地面时速度的值.（设重力加速度为常量.）分析由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反，因此，物体在上抛过程中所受重力P和阻力F的方向相同；而下落过程中，所受重力P和阻力F，的方向则相反，又因阻力是变力，在解动力学方程时，需用积分的方法，解分别对物体上抛、下落时作受力分析，以地面为原点，竖直向上为轴（如图所示）.（1）物体在上抛过程中，根据牛顿定律有yId=mdo-mg-km2=mde=mdy依据初始条件对上式积分，有odrdy=-og+kI In(g + ku2y=-2kln(g + kug)ol物体到达最高处时，=0，故有Iin/g +ku?题2-18图h=ymx=2k"g（2）物体下落过程中，有vdu-mg+kmv=mdy对上式积分，有vdy-kuD则2一19质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是试计算摩托车从静止加速到./2所需的时间以及所走过的路程分析该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题，求解方法与前两题相似，只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k.由于阻力F,=k,且F,又与恒力F的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时，加速度为零，此时速度达到最大，因此，根据速度最大值可求出阻力系数来B但在求摩托车所走路程时，需对变量作变换。解设摩托车沿x轴正方向运动，在牵引力F和阻力F，同时作用下，由牛顿定律有
第一篇力学34duF-hu"=m(1)dtdo=0时，摩托车的速率最大，因此可得当加速度adth=F(2)由式（1和式（2)可得=m%(3)根据始末条件对式（3）积分，有dt=mdmmln3则t=2Fdymvdv又因式(3)中m9，再利用始末条件对式（3）积分，有dxdt-(1-岁)dx=dtmvamv.4~0.144则-lnxF2F3?2-20在卡车车厢底板上放一木箱，该木箱距车厢前沿挡板的距离L=2.0m，已知制动时卡车的加速度a=7.0m·s-2,设制动一开始木箱就开始滑动.求该木箱撞上挡板时相对卡车的速率为多大？设木箱与车厢底板间动摩擦因数μ=0.50.分析如同习题2-5分析中指出的那a样，可对木箱加上惯性力F。后，以车厢为参考a系进行求解，如图所示，此时木箱在水平方向F受到惯性力和摩擦力作用，图中α为木箱相对FC车厢的加速度L解由牛顿第二定律和相关运动学规律题2-20图有(1)F。-F,=md-umg=ma'(2)"?=2a'LPDG联立解（1）、（2）两式并代人题给数据，得木箱撞上车厢挡板时的速度为=2(a-μg)L=2.9m·s-1