《自动控制原理》课程教学资源（教案讲义）第三章 控制系统的时域分析

《自动控制原理》第三章时域分析法dc(t)2.初始速度：=1-1=01-eT1.dt3. es = lim[r(t)-c(t)] = lim(T - Te ) = T★表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上仍有误差。1dc(t)2=1-e=h()，即单位斜坡响应的导数是单位阶4.对斜坡响应求导：dt跃响应。四、单位抛物线响应：T21T21T12-Tt+T?(1-e1C(s) =.. c(t) =153s22s(Ts +1)Ss+T故e = lim e(l) = lim[7t -T2 +T2e] = 00.. e(t) = r(t)-c(t)= Tt-T2(1-e-1.一阶系统不能跟踪抛物线信号。dc(t)2.对抛物线响应求导：=t-T+Te元=斜坡响应。dtdd 1p.1(0)1(t)-t. 1(t) =A:8(0)d32dtdt?d?d3d...g(t)=-h(t)C解(1)=C(t)dt?dt3dt★这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任何阶线性系统，但不适于非线性系统。833二阶系统的时域分析定义一一由二阶微分方程描述的系统。如R-L-C网络、枢控电动机、动力系、两级RC串联等。cR0.G(s)=s(s+250.)6

《自动控制原理》 第三章 时域分析法 6 2．初始速度： | 1 | 1 1 0 ( ) 0= − =0= − = − = t T t t e dt dc t 3．e lim[r(t) c(t)] t ss = − → lim( ) T t t T Te − → = − = T ★表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上 仍有误差。 4．对斜坡响应求导： 1 ( ) ( ) e h t dt dc t t t = − = − ，即单位斜坡响应的导数是单位阶 跃响应。 四、单位抛物线响应： T s T s T s T s Ts s C s 1 1 ( 1) 1 ( ) 2 2 3 3 2 + = − + − + = ，∴ (1 ) 2 1 ( ) 2 2 T t c t t Tt T e − = − + −  = − = − − = = − + =  − → → − ( ) ( ) ( ) (1 ), lim ( ) lim[ ] 2 2 2 T t t t ss T t e t r t c t Tt T e 故e e t Tt T T e 1．一阶系统不能跟踪抛物线信号。 2．对抛物线响应求导： = − + = − T t t T Te dt dc(t) 斜坡响应。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) 2 1 . ( ) 1( ) 1( ) 3 3 2 2 2 3 3 2 2 C t dt d C t dt d h t dt d g t t t dt d t t dt d t dt d t  = = 斜 = 抛   = =  =  ★这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任何阶线性系统，但不适于非线 性系统。 §3—3 二阶系统的时域分析 定义——由二阶微分方程描述的系统。如 R − L −C 网络、枢控电动机、动 力系、两级 RC 串联等。 - R C ( 2 ) ( ) 2 n n s s G s   + =

《自动控制原理》第三章时域分析法微分方程：c(t)+250,c(t)+0,c(t)=0,r(t)o.?传函：G()=+250,s+0特征方程：?+20,s+02=0[——阻尼比其中心一无阻尼自然角频率Q.特征根：S12=-50,±0,2-1①5=0:S12=±jom②5=1:S12=-0n③>1：两个不相等负实根00<5<1: S12 =-50, ±0, V52 -1、单位阶跃响应：o当取不同值时，阶跃响应也不相同。C(s)=$(s? +250,s+0.)()5=0:o,?1C(s)=s(s? +0,)Ss+0.h(t)=1-cos O,th(0)4可见：系统处于无阻尼状态，响应为等幅振荡的周期函数，频率为の，，故称の，为无阻尼自然角频率。而且：%=100%,t，=00,e=0--±1，实际中无法完成任务

《自动控制原理》 第三章 时域分析法 7 微分方程： ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 c t c t c t r t + n +n =n   传函： 2 2 2 2 ( ) n n n s s G s    + + = 特征方程： 2 0 2 2 s + n s +n = 其中    — —无阻尼自然角频率 — —阻尼比  n  特征根： 1 2 s1.2 = − n  n  − ① n  = 0 : s1.2 =  j ② n  = 1: s1.2 = − ③   1: 两个不相等负实根 ④ 0   1: 1 2 s1.2 = − n  n  − 一、单位阶跃响应： ( 2 ) ( ) 2 2 2 n n n s s s C s    + + = 当  取不同值时，阶跃响应也不相同。 （一）  = 0： C(s)= 2 2 2 2 2 1 ( ) n n n s s s s  s   + = − + h t t  n ( ) = 1− cos 可 见：系统处于无阻尼状 态，响应为 等幅振荡的周期函数， 频率为  n ，故称  n 为无阻尼自然角频率。 而且： % = 100%, = , = 0 − − 1 s ss  t e ，实际中无法完成任务。 0 −Wn Wn 0 0 1 2 t h(t) 0

《自动控制原理》第三章时域分析法(二) 5=1:0?1s+onOnC(s) =(s+0,)2s(s2+20,s+0,2)s(s+0,)21On(s+0,)?s+o.sh(t)=1-e--w,te-.h(t) 4可见：临界阻尼的单位阶跃响应为非周期单调上升过程。dh(t)变化率：=0,e- +0,'te-ed =0,'te-0ddtt=0时，变化率为0，t>0后变化率为正。5.8（△=±2%）或1,~4.74（△=±5%）；此而且：无%与t，，1~Qnon时s12=-0,。(三) ≤>1:?o.AAAC(s) =s(s? +260,$+0,)s(s-st)(s-S2)sS- StS-S20,?hn4其中A=lim=1$-0 s? +20,s+ 0.?0,?1A, = lim-→5t s(s- S2)2/52-1(5-/52-1)0?1A, = lim5-$2 s(s - s,)2/22-1(5+/52-1)8

《自动控制原理》 第三章 时域分析法 8 （二）  = 1： 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) n n n n n n n s s s s s s s C s        + − + + = − + + = = 2 ( ) 1 1 n n n s s s    + − + − t n t n n h t e te    − − ( ) =1− − 可见：临界阻尼的单位阶跃响应为非周期单调上升过程。 变化率： t n t n t n n n n e te te dt dh t       − − − = + = ( ) 2 2 t = 0 时，变化率为 0，t  0 后变化率为正。 而且：无 n p s t t   5.8 %与 ， .  （△=±2%）或 n s t  4.74  （△=±5%）；此 时 n s1.2 = − 。 （三）   1: 2 2 1 0 1 1 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( )( ) ( ) s s A s s A s A s s s s s s s s C s n n n n − + − = + − − = + + =     其中 1 2 lim 2 2 2 0 0 = + + = → n n n s s s A    2 1( 1 ) 1 ( ) lim 2 2 2 2 1 1 − − − = − − = →     s s s A n s s 2 1( 1 ) 1 ( ) lim 2 2 1 2 2 2 − + − = − = →     s s s A n s s 1 0 h(t) t t h(t) 0

《自动控制原理》 第三章时域分折法11e-(5+/2-1)o,(5-22-1)h(t)=15+V52-1215-15-5-1此时 s12=-50, ±0,V52-11、可见：c(t)由两相指数函数组成：dh(t)1h(0)=1-1=0 ,h(0)=1,[1-1] = 0 。dt>22/92.曲线单调上升，无c%、t，。3.t,的近似计算：在>1尤其是>1时，(5+-1)>>(5-2-1)：.响应中两个指数项随着1的延长，后一项！..后一项只在t>0后的前期对响应有影响，求t时可忽略。则有0(s)~-=50,-0,V2-1S-st$+5o,-0,V?-150, -0,52-111.. C(s)=s(s+50,-0.V2-1)ss+50, -0.V5?-1. h(0)=1-e-(-VF-1)o. 。1的惯性环节。此时相当于T=(5-52-1)0n4(一般≥1.07)..1,~4T=(5 -V5?-1)0n5.8计算。当1<<1.07时，可用t，=On833二阶系统的时域分析(四)0<2<1:1.响应曲线：s+Conto1C(s) =(s+(0,)2 +(1-52)0,22(s+50,)2+0,2(1-52)e9

《自动控制原理》 第三章 时域分析法 9 t t n n h t e e            ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 2 1 1 1 1 [ 2 1 1 ( ) 1 − − − − + − + − − − − − = − 此时 1 2 s1.2 = −n n  − 1、可见： c(t) 由两相指数函数组成； h(0)=1 -1=0 ，h(  )=1， [1 1] 0 2 1 1 | ( ) 2 0 − = − = =  t dt dh t 。 2. 曲线单调上升，无 %、 p t 。 3． s t 的近似计算： 在   1 尤其是   1 时， ( 1) ( 1) 2 2  +  −   −  − ∴响应中两个指数项随着 t 的延长，后一项↓↓ ∴后一项只在 t  0 后的前期对响应有影响，求 s t 时可忽略。 则有 1 1 ( ) 2 2 1 1 + − − − − = − −         n n n n s s s s s ∴ ( 1) 1 ( ) 2 2 + − − − − =       n n n n s s C s 1 1 1 2 + − − = − s s n n  ， ∴ t n h t e (  1) 2 ( ) 1 − − − = − 。 此时相当于 n T (  1) 1 2 − − = 的惯性环节。 t s  4T =    n ( 1) 4 2 − − （一般  1.07 ） 当 n s t   5.8 1   1.07时，可用 = 计算。 §3—3 二阶系统的时域分析 （四） 0    1: 1．响应曲线： ( ) (1 ) ( ) (1 ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2         + + − − + + − + = − n n n n n n s s s s C s

《自动控制原理》第三章时域分折法s+gOd(s+o)?+0J1-2 (s+o)+0dsinoat-e-ah(t)=1-e-"coswat/1-2设直角三角形：β=cos"5=sin/1-=tg--So-Sa.则h(t)=2-1cosoat+sinoatl1V92-1cosoat+sinoal/1-e-50sin(o,y12t+β)=1yi-2可见：,=1,h(0)=1-1=0,h(o0)=1e-Sat包络线：1±Vi-222．性能指标：T(1）t,：令h(t)=1,代入h(t)式中有_esin(Oat,+β)=0/1-￥0..sin(0at,+β)=0，则0at,+β=0,元,2元,3元,..210

《自动控制原理》 第三章 时域分析法 10 = 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 d d d s s s s         − + + − + + + − t d d t h t e t t e       − −  − = − − sin 1 ( ) 1 cos 2 设直角三角形：      2 1 1 2 1 1 cos sin 1 − = = − = − − − tg 则 [ 1cos sin ] 1 ( ) 1 2 2 t t e h t d d t n       − + − = − − ( 1cos sin ] 1 1 2 2 t t e d d t n       − + − = − − sin( 1 ) 1 1 2 2      − + − = − − t e n t n 可见： c = 1 h(0) = 1−1 = 0 h() = 1 s ， ， 包络线： 2 1 1   −  − t n e 2．性能指标： （1） r t ：令 h(t) = 1，代入h(t) 式中， 有 sin( ) 0 1 2 + = − −     d r t t e n r ∴ 0 sin( ) 0 1 2   + = − −     d r t t e n ， ， 则  d t r +  = 0, ,2 ,3 ,  0 1 2 1 1   − + − t n e 2 1 1   − − − t n e t