D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.02.051 第29卷第2期 北京科技大学学报 Vol.29 No.2 2007年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2007 二维编织复合材料几何结构的平面群分析 马文锁)冯伟) 1)河南科技大学机电工程学院，洛阳4710032)上海大学上海市应用数学和力学研究所，上海200072 摘要由10个平面点群与5个平面点阵组合，推导出与二维编织复合材料几何结构有密切关系的17个平面群.叙述了二 维编织复合材料纱线段的点符号简化方法及其组合、交叉原则，以及由点符号组成的无对称单元、基本对称单元构建的方法· 阐述了从无对称单元到基本对称单元最终形成编织织物的过程。将二维编织织物分为4种编织系，每种编织系包括若干个平 面群，每个平面群对应一类编织结构，每类结构包括一种或几种编织形式，交织方法类似·举例说明了多数平面群可能对应的 编织几何结构 关键词编织材料；编织几何结构：群论分析：点群；平面群 分类号TQ171.77:029 从编织方式来说，编织复合材料增强体可分为 群加以描述，一方面可以将编织结构归类总结，另一 二维编织和三维编织两大类。两种编织方式除了可 方面可以通过数学中点群的描述发现新的编织结 以构成实心柱状结构外，还可以构成管状或异型编 构，对优化材料性能是一件很有意义的工作.纱线 织空间几何结构).平面编织复合材料是编织织 二维平面编织体是构成层合、缝纫或碳基针刺复合 物作为增强体固化而成，在复合材料行业被广泛使 材料的增强材料，管状封闭曲面复合材料构件也采 用可].根据不同的编织方法可获得不同力学性能的 用二维编织的方法，本文着重描述平面二维编织复 复合材料，因而具有性能设计方面的灵活性可，复 合材料编织体的几何结构对应的平面群（即二维空 合材料编织结构几何模型的建立是力学分析的重要 间群)，并探讨由平面群推导平面编织结构的可能 前提，基于单胞法的几何模型在众多文献中得以应 性 用-]，编织织物的几何结构复杂多样，复合后的 材料性能各不相同，将编织复合材料增强体的几何 1二维复合材料编织体纱线的几何结 结构根据其工艺特点进行分类，有助于预报及优化 构简化模型 其性能. 二维编织织物是指编织出的织物厚度最多是参 对称的观点是自然科学中最基本的观念之一· 加编织的纱线直径3倍的编织技术21].在周期性 实数域上三维欧几里德空间一个物体的对称性可以 的编织图案中将穿越厚度方向不同倾角的纱线及平 用对称群加以描述[20]，复合材料编织体的微几何 行于编织平面的纱线段用不同的简化符号表示，就 结构图案也具有可描述的对称性特征，如将构成编 可以考察编织图案所满足的平面群. 织体的连续的纱线段离散，并将假想的纱线段位置 在平面编织体的几何结构中，连续的纱线呈直 变换，编织体的状态变换前后完全相同的操作过程 线状（轴纱）或波浪状（编织纱），离散后用简化的点 也称作对称变换，那么复合材料编织体几何结构的 符号描述，简化方法如下 所有对称操作的集合就与点群和空间群建立了对应 定义平面编织体厚度方向的对称平面为其编织 关系，不同点群可以描述具有点对称操作的三维欧 平面 几里德空间中不同类型的局部图案的对称性；而不 处于编织平面的纱线段用点符号○表示，将处 同空间群可以描述整个编织体自身重复的几何对称 于编织平面上方的平行纱线段用⊙表示，而处于 结构的所有对称操作 编织面下方的纱线段用Θ表示；穿越编织体的纱 尝试将复合材料的编织结构用群论中的有限点 线段用②表示.⑧符号指向编织体平面的法线的正 收稿日期：2006-10-29修回日期：2007-01-11 向，简化表示时，点符号放置在纱线的轴线投影上， 基金项目：河南省教育厅自然科学基础研究计划项目 不同纱线段在编织体中可以表示为不同组合， (200511522003) 作者简介：马文锁(1969一)，男，副教授，博士 如图1所示，所有点符号最终全部投影在编织平面
二维编织复合材料几何结构的平面群分析 马文锁1） 冯 伟2） 1） 河南科技大学机电工程学院洛阳471003 2） 上海大学上海市应用数学和力学研究所上海200072 摘 要 由10个平面点群与5个平面点阵组合推导出与二维编织复合材料几何结构有密切关系的17个平面群．叙述了二 维编织复合材料纱线段的点符号简化方法及其组合、交叉原则以及由点符号组成的无对称单元、基本对称单元构建的方法． 阐述了从无对称单元到基本对称单元最终形成编织织物的过程．将二维编织织物分为4种编织系每种编织系包括若干个平 面群每个平面群对应一类编织结构每类结构包括一种或几种编织形式交织方法类似．举例说明了多数平面群可能对应的 编织几何结构． 关键词 编织材料；编织几何结构；群论分析；点群；平面群 分类号 T Q171∙77；O29 收稿日期：20061029 修回日期：20070111 基 金 项 目： 河 南 省 教 育 厅 自 然 科 学 基 础 研 究 计 划 项 目 （200511522003） 作者简介：马文锁（1969—）男副教授博士 从编织方式来说编织复合材料增强体可分为 二维编织和三维编织两大类．两种编织方式除了可 以构成实心柱状结构外还可以构成管状或异型编 织空间几何结构［1—4］．平面编织复合材料是编织织 物作为增强体固化而成在复合材料行业被广泛使 用［5］．根据不同的编织方法可获得不同力学性能的 复合材料因而具有性能设计方面的灵活性［6］．复 合材料编织结构几何模型的建立是力学分析的重要 前提．基于单胞法的几何模型在众多文献中得以应 用［7—19］．编织织物的几何结构复杂多样复合后的 材料性能各不相同．将编织复合材料增强体的几何 结构根据其工艺特点进行分类有助于预报及优化 其性能． 对称的观点是自然科学中最基本的观念之一． 实数域上三维欧几里德空间一个物体的对称性可以 用对称群加以描述［20］．复合材料编织体的微几何 结构图案也具有可描述的对称性特征．如将构成编 织体的连续的纱线段离散并将假想的纱线段位置 变换编织体的状态变换前后完全相同的操作过程 也称作对称变换那么复合材料编织体几何结构的 所有对称操作的集合就与点群和空间群建立了对应 关系．不同点群可以描述具有点对称操作的三维欧 几里德空间中不同类型的局部图案的对称性；而不 同空间群可以描述整个编织体自身重复的几何对称 结构的所有对称操作． 尝试将复合材料的编织结构用群论中的有限点 群加以描述一方面可以将编织结构归类总结另一 方面可以通过数学中点群的描述发现新的编织结 构对优化材料性能是一件很有意义的工作．纱线 二维平面编织体是构成层合、缝纫或碳基针刺复合 材料的增强材料．管状封闭曲面复合材料构件也采 用二维编织的方法．本文着重描述平面二维编织复 合材料编织体的几何结构对应的平面群（即二维空 间群）并探讨由平面群推导平面编织结构的可能 性． 1 二维复合材料编织体纱线的几何结 构简化模型 二维编织织物是指编织出的织物厚度最多是参 加编织的纱线直径3倍的编织技术［21］．在周期性 的编织图案中将穿越厚度方向不同倾角的纱线及平 行于编织平面的纱线段用不同的简化符号表示就 可以考察编织图案所满足的平面群． 在平面编织体的几何结构中连续的纱线呈直 线状（轴纱）或波浪状（编织纱）．离散后用简化的点 符号描述．简化方法如下． 定义平面编织体厚度方向的对称平面为其编织 平面． 处于编织平面的纱线段用点符号⦵表示．将处 于编织平面上方的平行纱线段用⦵＋ 表示而处于 编织面下方的纱线段用⦵— 表示；穿越编织体的纱 线段用 表示． 符号指向编织体平面的法线的正 向．简化表示时点符号放置在纱线的轴线投影上． 不同纱线段在编织体中可以表示为不同组合 如图1所示．所有点符号最终全部投影在编织平面 第29卷 第2期 2007年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．2 Feb．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．02．051
第2期 马文锁等：二维编织复合材料几何结构的平面群分析 .227. 内加以研究 对称规则，由上述三种操作构成平面群的元素，不 同元素的集合构成描述各种二维编织复合材料的平 面几何结构的平面群 用满足空间群的二维周期性图案按平移操作或 复合操作进行拼装，即可获得二维编织复合材料预 制件的编织结构，这种方法不仅可以将已知的二维 图1编织体中不同状态纱线的点符号组合 编织几何结构进行分类归纳，而且可以根据对应不 Fig.1 Point symbol combination of variant status yarns 同的平面群反推二维编织方法 后续插图中因为采用了点符号与平面投影图综 4描述二维编织复合材料平面群的推 合描述的方法，因而在描述平行纱线段时省略了 上标 导 参照晶体学[21]中点群的描述，平移操作与点操 2分析时的假设 作相互制约，平移操作对点操作制约的结果，使得 在纺织复合材料的分类过程中，文献[21]将机 编织复合材料对称轴的轴次也只有1,2,3,4,6五 织与编织工艺加以区分.在二维机织和编织的几何 种)，因而只有十个平面编织点群，点操作对平移 结构分类过程中，以加工工艺区分的各种织造方法 操作制约的结果，使得对应于平面点群只有五种点 形成的平面二维图案，在以单元划分分析的过程中 阵类型 具有广泛的相似性，事实上，最终的两种织物结构 根据对应平面图案的绕一点的对称操作的集合 在织物编织平面上的投影都为直线.这种工艺上的 构成平面点群，共有10种：1,2,3,4,6，m, 区别不足以严格区分这两种织物，采用不同的工艺 2mm,3m,4mm,6mm,分别对应5个平面点阵： 得到的织物有相同的结构和性能.所以本文的编织 斜交点阵，简单矩形点阵和c心矩形点阵，正方点 概念是包括了传统的编织工艺1]和机织工艺，只 阵，六角点阵 是在工艺实现方法上的不同，所以论述过程中多数 这里约定与5个平面点阵对应的为4种不同的 编织方法的图案可能引起读者的联想，希望不引起 平面编织系，斜交点阵对应斜交系，点阵点群为2， 概念方面的误解 与之相协调的点群为1、2；正方点阵对应点阵点群 3二维编织复合材料群描述 4mm,于之对应的点群为4、4mm;六角点阵对应的 点阵点群为6mm,与之相协调的点群为6,6mm, 与描述晶体表面结构相类似，复合材料预制件 3,3m;简单矩形点阵和c心矩形点阵对应的点阵 的二维编织几何结构在投影平面内是具有周期性的 点群2mm,于之相协调的点群为m,2mm·表 二维图案，将连续的编织纱线构成的图案按其周期 1[21]描述了平面点群与平面点阵的对应协调关系. 性图案离散，每个被离散的图案看作一个平面点阵 表15个平面点阵点群及相协调的平面点群2四 的阵点，选择任一阵点作为原点，在编织面内过阵 Table 1 Five plain dot lattices and corresponding point groups 点选择不共线的矢量作为基矢量α、b,基矢量的模 平面编 点阵的 相协调的 为阵点间距，基矢量构成平面点阵的重复单元的平 点阵类型及符号 织系 点群 点群 行四边形.可以认为平面编织图案是点阵沿平移矢 斜交 斜交点阵 2 1,2 量t=ua十vb(u,v为任意整数)平移得到的 矩形简单矩形点阵和c心矩形点阵 2mm m.2mm 平面编织体可以看作具有与晶体表面几何结构 正方 正方点阵 4mm 4,4mm 相同的某些或全部对称性，满足相应的平面群（二维 六角 六角点阵 6 mm 6,6mm,3,3m 空间群)的四个基本性质，是数学意义上的群.因而 不同的平面编织方式对应不同的平面群.群元素看 将点群的平面点操作与平面点阵的平移操作组 作不同的对称操作.共有三种类型：第一种是平移 合·即依次把每一个平面点群和与它相协调的每一 对称操作，用以描述整体编织图案的周期性；第二种 个平面点阵组合起来，也就是让该点阵的阵点所代 是点对称操作，为点群元素，用以描述周期性平面 表的图像单元具有该点群的对称性，或具有把点群 图案的点对称性；第三种是上述两种对称操作的复 中的镜线m换成滑移线g之后的对称性，就得到描 合，用以描述有平移操作和点操作组合后的图案的 述二维编织体周期性图像的平面群2]
内加以研究． 图1 编织体中不同状态纱线的点符号组合 Fig．1 Point symbol combination of variant status yarns 后续插图中因为采用了点符号与平面投影图综 合描述的方法因而在描述平行纱线段时省略了 上标． 2 分析时的假设 在纺织复合材料的分类过程中文献［21］将机 织与编织工艺加以区分．在二维机织和编织的几何 结构分类过程中以加工工艺区分的各种织造方法 形成的平面二维图案在以单元划分分析的过程中 具有广泛的相似性．事实上最终的两种织物结构 在织物编织平面上的投影都为直线．这种工艺上的 区别不足以严格区分这两种织物采用不同的工艺 得到的织物有相同的结构和性能．所以本文的编织 概念是包括了传统的编织工艺［18—19］和机织工艺只 是在工艺实现方法上的不同．所以论述过程中多数 编织方法的图案可能引起读者的联想希望不引起 概念方面的误解． 3 二维编织复合材料群描述 与描述晶体表面结构相类似复合材料预制件 的二维编织几何结构在投影平面内是具有周期性的 二维图案．将连续的编织纱线构成的图案按其周期 性图案离散每个被离散的图案看作一个平面点阵 的阵点．选择任一阵点作为原点在编织面内过阵 点选择不共线的矢量作为基矢量 a、b．基矢量的模 为阵点间距．基矢量构成平面点阵的重复单元的平 行四边形．可以认为平面编织图案是点阵沿平移矢 量t＝ ua＋vb（ uv 为任意整数）平移得到的． 平面编织体可以看作具有与晶体表面几何结构 相同的某些或全部对称性满足相应的平面群（二维 空间群）的四个基本性质是数学意义上的群．因而 不同的平面编织方式对应不同的平面群．群元素看 作不同的对称操作．共有三种类型：第一种是平移 对称操作用以描述整体编织图案的周期性；第二种 是点对称操作为点群元素．用以描述周期性平面 图案的点对称性；第三种是上述两种对称操作的复 合用以描述有平移操作和点操作组合后的图案的 对称规则．由上述三种操作构成平面群的元素不 同元素的集合构成描述各种二维编织复合材料的平 面几何结构的平面群． 用满足空间群的二维周期性图案按平移操作或 复合操作进行拼装即可获得二维编织复合材料预 制件的编织结构这种方法不仅可以将已知的二维 编织几何结构进行分类归纳而且可以根据对应不 同的平面群反推二维编织方法． 4 描述二维编织复合材料平面群的推 导 参照晶体学［21］中点群的描述平移操作与点操 作相互制约．平移操作对点操作制约的结果使得 编织复合材料对称轴的轴次也只有12346五 种［3］因而只有十个平面编织点群．点操作对平移 操作制约的结果使得对应于平面点群只有五种点 阵类型． 根据对应平面图案的绕一点的对称操作的集合 构成平面点群共有 10 种：12346 m 2mm3m4mm6mm．分别对应5个平面点阵： 斜交点阵简单矩形点阵和 c 心矩形点阵正方点 阵六角点阵． 这里约定与5个平面点阵对应的为4种不同的 平面编织系．斜交点阵对应斜交系点阵点群为2 与之相协调的点群为1、2；正方点阵对应点阵点群 4mm于之对应的点群为4、4mm；六角点阵对应的 点阵点群为6mm与之相协调的点群为66mm 33m；简单矩形点阵和 c 心矩形点阵对应的点阵 点群2mm于之相协调的点群为 m2mm．表 1［21］描述了平面点群与平面点阵的对应协调关系． 表1 5个平面点阵点群及相协调的平面点群［21］ Table1 Five plain dot lattices and corresponding point groups ［21］ 平面编 织系 点阵类型及符号 点阵的 点群 相协调的 点群 斜交 斜交点阵 2 12 矩形 简单矩形点阵和 c 心矩形点阵 2mm m2mm 正方 正方点阵 4mm 44mm 六角 六角点阵 6mm 66mm33m 将点群的平面点操作与平面点阵的平移操作组 合．即依次把每一个平面点群和与它相协调的每一 个平面点阵组合起来也就是让该点阵的阵点所代 表的图像单元具有该点群的对称性或具有把点群 中的镜线 m 换成滑移线 g 之后的对称性就得到描 述二维编织体周期性图像的平面群［21］． 第2期 马文锁等： 二维编织复合材料几何结构的平面群分析 ·227·
.228 北京科技大学学报 第29卷 斜交点阵与点群1和2组合分别得到平面群 号符合上述原则 p1和p2,简单矩形点阵与点群组合得到平面群 描述不同纱线的点符号交叉原则： cm·镜面m与c心平移(a十b)/2组合得到了滑移 (1)描述处于编织面上部或下部的不同纱线， 线g,平面群cm=cg;c2mm=c2mg=c2gg; 在编织面上投影交叉或平行，简化表达纱线的点符 p4mm=p4mg,p4gm =p4gg:p3m1=p3g1, 号组合必须异号，即⊙⊙一或⊙一O+ p31m=p31g:p6mm=p6mg=p6gm=p6gg- (2)倾斜纱线段与平行纱线段的交叉位于点符 从而得到17个平面群（二维空间群）. 号②右侧用点符号⊙，左侧用曰. 综上所述，理论上用17个二维空间群可以完全 对称单元的组合原则： 描述所有的平面编织图案类型，每一种编织系包括 (1)以无对称单元的边界、边界上的点或边界 几种平面群：每个平面群可表达一类编织方法，包括 顶点为对称元素，通过镜面反射、平移，平行于编织 一种或几种编织几何结构.这里并不说明平面编织 面二次轴螺旋旋转或滑移的平面对称操作，恰好填 结构的形式只有17种，而是某一种平面群可能对应 满整个编织平面，同时必须满足点符号组合原则和 几种平面编织结构 点符号交叉原则 将不同的纱线段或其组合通过点对称、平移对 (2)无对称单元组合过程中，不能构建浮于整 称、滑移及螺旋旋转对称操作得到的合理等效位置 个单元表面的纱线段点符号组合，否则将会在单元 的组合，在该集合的布置对称元素（对称操作时所 对称操作过程中出现浮于编织体表面而未参与编织 依据的点、线、面)，本身除恒等对称操作外，不再具 的纱线，即无单纯点符号⊙ˉ或O的组合 有其他平面点操作和非点对称操作的对称性·由它 (③)基本对称单元的构建必须满足各种状态纱 出发施以编织结构的对称操作，就恰好填满整个编 线最终连续的原则，通过平面群满足的对称元素不 织平面，镜面必是无对称单元的边界：旋转轴必是 同配置将基本对称单元作其余对称变换，即通过非 无对称单元的棱边或顶点，即点符号集合所描述的 点式对称操作，获得等效位置，最终形成覆盖整个 几何图案面内不存在对称元素，得到的合理平面图 平面编织几何结构的合理平面图案 案或点符号集合定义为无对称单元 5用平面群对二维编织几何结构的分 以无对称单元的边界或边界上的点为对称元 素.对称元素n次轴、镜面和滑移面（或线）垂直于 类 编织面；平行于编织面的只有2次轴，通过满足点 以平面群（二维空间群）对应的不同点阵将平面 阵阵点不同的点群的对称变换，得到等效位置组成 编织几何结构分为斜交编织系、矩形编织系、正方编 的图案，称作基本对称图案，构成点阵的基本对称 织系和六角编织系，与平面点阵的对应关系如表1 单元，基本对称单元可以是平行四边形、菱形、矩 第一列和第二列所述 形、正方形、正三角形和正六边形几何形状 5.1斜交编织系 无对称单元的构建可以认为是由离散的纱线段 对应斜交点阵的平面群有p1、p2,与点群1和 的不同组合方式的集合，用简化的点符号表示时， 点群2相协调.对应于平面群p1的编织图案，可以 也可以认为是点符号符合某种原则的集合，点符号 认为单向增强复合材料满足它的对称性， 组合的方法需符合下述原则（如图1所示）· 对应于斜交点阵（单斜点阵）的平面群p2,与点 表达同一纱线时的点符号组合原则： 群2相协调，点阵的阵点需放置具有2次轴的对称 (1)由点符号组合表示的所有连续纱线在编织 图案，找到具有点群2的对称性的纱线段组合的点 面内的投影为直线， 对称平面几何结构，放入不同夹角的斜交点阵中可 (2)描述倾斜纱线段的点符号⑧只可以相向或 得到同一编织系的类似的编织结构形式，如图2所 相背组合，不可以同向，多个符号的组合用以描述 示.图2(a)对应规则编织结构，又称为2×2交织结 正弦波形或余弦波形的单根纱线. 构(Twill).图2(b)对应赫格利斯交织结构(Harness (3)多个点符号⊙，⊙、⊙只可能各自组合 Satin),又称为3×3交织结构[9.1-19,21.他们的无 为表面浮动纱线或增强纱线，规定三种符号之间不 对称单元及基本对称单元均为矩形形状， 能组合；点符号⊙与⑧只能右组合，⊙厂与⑧只能 同理可以推得满足斜交点阵平面群p2对称性 左组合， 的mXn(m、n可取≥2不同的正整数)交织结构 (4)相邻单元所有需连接的纱线段对应的点符 如图2(b)和2(c)所示的3×3和4×2交织结构
斜交点阵与点群1和2组合分别得到平面群 p1和 p2．简单矩形点阵与点群组合得到平面群 cm．镜面 m 与 c 心平移（ a＋b）／2组合得到了滑移 线 g平面群 cm ＝ cg；c2mm ＝ c2mg ＝ c2gg； p4mm ＝ p4mgp4gm ＝ p4gg；p3m1＝ p3g1 p31m＝ p31g；p6mm ＝ p6mg ＝ p6gm ＝ p6gg． 从而得到17个平面群（二维空间群） ［21］． 综上所述理论上用17个二维空间群可以完全 描述所有的平面编织图案类型．每一种编织系包括 几种平面群；每个平面群可表达一类编织方法包括 一种或几种编织几何结构．这里并不说明平面编织 结构的形式只有17种而是某一种平面群可能对应 几种平面编织结构． 将不同的纱线段或其组合通过点对称、平移对 称、滑移及螺旋旋转对称操作得到的合理等效位置 的组合．在该集合的布置对称元素（对称操作时所 依据的点、线、面）本身除恒等对称操作外不再具 有其他平面点操作和非点对称操作的对称性．由它 出发施以编织结构的对称操作就恰好填满整个编 织平面．镜面必是无对称单元的边界；旋转轴必是 无对称单元的棱边或顶点．即点符号集合所描述的 几何图案面内不存在对称元素．得到的合理平面图 案或点符号集合定义为无对称单元． 以无对称单元的边界或边界上的点为对称元 素．对称元素 n 次轴、镜面和滑移面（或线）垂直于 编织面；平行于编织面的只有2次轴．通过满足点 阵阵点不同的点群的对称变换得到等效位置组成 的图案称作基本对称图案．构成点阵的基本对称 单元．基本对称单元可以是平行四边形、菱形、矩 形、正方形、正三角形和正六边形几何形状． 无对称单元的构建可以认为是由离散的纱线段 的不同组合方式的集合．用简化的点符号表示时 也可以认为是点符号符合某种原则的集合．点符号 组合的方法需符合下述原则（如图1所示）． 表达同一纱线时的点符号组合原则： （1） 由点符号组合表示的所有连续纱线在编织 面内的投影为直线． （2） 描述倾斜纱线段的点符号 只可以相向或 相背组合不可以同向．多个符号的组合用以描述 正弦波形或余弦波形的单根纱线． （3） 多个点符号⦵、⦵＋、⦵— 只可能各自组合 为表面浮动纱线或增强纱线．规定三种符号之间不 能组合；点符号⦵＋与 只能右组合⦵—与 只能 左组合． （4） 相邻单元所有需连接的纱线段对应的点符 号符合上述原则． 描述不同纱线的点符号交叉原则： （1） 描述处于编织面上部或下部的不同纱线 在编织面上投影交叉或平行．简化表达纱线的点符 号组合必须异号即⦵＋⦵—或⦵—⦵＋． （2） 倾斜纱线段与平行纱线段的交叉位于点符 号 右侧用点符号⦵—左侧用⦵＋． 对称单元的组合原则： （1） 以无对称单元的边界、边界上的点或边界 顶点为对称元素通过镜面反射、平移平行于编织 面二次轴螺旋旋转或滑移的平面对称操作恰好填 满整个编织平面．同时必须满足点符号组合原则和 点符号交叉原则． （2） 无对称单元组合过程中不能构建浮于整 个单元表面的纱线段点符号组合．否则将会在单元 对称操作过程中出现浮于编织体表面而未参与编织 的纱线．即无单纯点符号⦵—或⦵＋的组合． （3） 基本对称单元的构建必须满足各种状态纱 线最终连续的原则．通过平面群满足的对称元素不 同配置将基本对称单元作其余对称变换即通过非 点式对称操作获得等效位置．最终形成覆盖整个 平面编织几何结构的合理平面图案． 5 用平面群对二维编织几何结构的分 类 以平面群（二维空间群）对应的不同点阵将平面 编织几何结构分为斜交编织系、矩形编织系、正方编 织系和六角编织系．与平面点阵的对应关系如表1 第一列和第二列所述． 5∙1 斜交编织系 对应斜交点阵的平面群有 p1、p2与点群1和 点群2相协调．对应于平面群 p1的编织图案可以 认为单向增强复合材料满足它的对称性． 对应于斜交点阵（单斜点阵）的平面群 p2与点 群2相协调点阵的阵点需放置具有2次轴的对称 图案．找到具有点群2的对称性的纱线段组合的点 对称平面几何结构放入不同夹角的斜交点阵中可 得到同一编织系的类似的编织结构形式如图2所 示．图2（a）对应规则编织结构又称为2×2交织结 构（Twill）．图2（b）对应赫格利斯交织结构（Harness Satin）又称为3×3交织结构［918—1921］．他们的无 对称单元及基本对称单元均为矩形形状． 同理可以推得满足斜交点阵平面群 p2对称性 的 m× n（ m、n 可取≥2不同的正整数）交织结构． 如图2（b）和2（c）所示的3×3和4×2交织结构． ·228· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第2期 马文锁等：二维编织复合材料几何结构的平面群分析 229 0 p 无对称单元 静 oo号op 基本对称单元 ()2×2交织结构 (b)3×3赫格利期交织结构 (c)4×2交织结构 图2具有点群2的对称性的平面编织织物 Fig.2 Plain braided fabrics with the symmetrical characteristic of plane group p2 5,2矩形编织系 而得到图3(a)和(b)所示的平面编织几何结构 对应简单矩形点阵和c心矩形点阵的点群分别 而对平面群p2mm的无对称单元，以某一边界 为m和2mm,与之相协调的平面群分别有pm、 为对称线（或面）作镜向对称操作，并以该边界中点 Pg、cm和p2mm、p2mg、p2gg、c2mm]7种. 为二次轴对称操作得基本对称单元图案.该图案具 对应平面群pm,cm和p2mm以图3上图所 有点群2mm的对称性，将基本对称单元图案放入 示的图案作为无对称单元，其中pm,cm无对称单 矩形点阵，即可获得图3(c)所示的满足二维空间群 元以下边界为镜线得到具有镜面对称性的基本对称 p2mm对称性的平面编织结构 单元，将图案分别放入矩形点阵和矩形有心点阵，进 无对称单元 基本对称单元 (a)pm (b)cm (c)p2mm 图3具有平面群pm、cm、p2mm对称性的平面编织织物 Fig-3 Plain braided fabrics with the symmetrical characteristic of plane groups pm,cm,and p2mm 对于其余平面群pg和p2mg、p2gg、c2mm也 将单根倾斜纱线段作为无对称单元，通过点群 可以通过点符号的组合原则最终得到平面编织织物 4得到的等效平面图案（如图4(a)放入正方点阵的 结构图案.在此不一一赘述 阵点（如图4(b)使之满足平面群的对称性，得到对 5.3正方编织系 应平面群p4的菱形编织9,1-19,21（也称作1×1编 正方点阵与点群4及4mm相协调，对应的平 织或Plain编织)织物几何结构，如图4(c)所示. 面群为p4、p4mm和p4gm
图2 具有点群2的对称性的平面编织织物 Fig．2 Plain braided fabrics with the symmetrical characteristic of plane group p2 5∙2 矩形编织系 对应简单矩形点阵和 c 心矩形点阵的点群分别 为 m 和2mm．与之相协调的平面群分别有 pm、 pg、cm 和 p2mm、p2mg、p2gg、c2mm ［3］7种． 对应平面群 pmcm 和 p2mm 以图3上图所 示的图案作为无对称单元．其中 pmcm 无对称单 元以下边界为镜线得到具有镜面对称性的基本对称 单元将图案分别放入矩形点阵和矩形有心点阵进 而得到图3（a）和（b）所示的平面编织几何结构． 而对平面群 p2mm 的无对称单元以某一边界 为对称线（或面）作镜向对称操作并以该边界中点 为二次轴对称操作得基本对称单元图案．该图案具 有点群2mm 的对称性．将基本对称单元图案放入 矩形点阵即可获得图3（c）所示的满足二维空间群 p2mm 对称性的平面编织结构． 图3 具有平面群 pm、cm、p2mm 对称性的平面编织织物 Fig．3 Plain braided fabrics with the symmetrical characteristic of plane groups pmcmand p2mm 对于其余平面群 pg 和 p2mg、p2gg、c2mm 也 可以通过点符号的组合原则最终得到平面编织织物 结构图案．在此不一一赘述． 5∙3 正方编织系 正方点阵与点群4及4mm 相协调对应的平 面群为 p4、p4mm 和 p4gm． 将单根倾斜纱线段作为无对称单元通过点群 4得到的等效平面图案（如图4（a））放入正方点阵的 阵点（如图4（b））使之满足平面群的对称性．得到对 应平面群 p4的菱形编织［918—1921］ （也称作1×1编 织或 Plain 编织）织物几何结构．如图4（c）所示． 第2期 马文锁等： 二维编织复合材料几何结构的平面群分析 ·229·
.230 北京科技大学学报 第29卷 (a) (b) 图4具有平面群p4对称性的菱形编织织物·()具有点群4对称性的纱线段组合；(b)正方点阵：(c)菱形编织物 Fig.4 Rhombus braided fabrics with the symmetrical characteristic of plane group p4:(a)yarn segments combination with the symmetrical characteristic of point group 4:(b)tetragonal lattice:(c)rhombus braided fabric 对应平面群p4mm和p4gm的编织几何结构， 空间群p3、p3m1、p31m、p6和p6mm· 由于在推导其可行编织结构时，存在点群4mm的 图6所示为符合平面群p3、p6的二维平面编 点对称性，对应图5所示畸形纱线段投影的组合图 织织物的推导过程，这里规定在单根纱线组合对称 案，因而可以说这两种平面群不存在对应的二维编 图案时，表达增强纱线段的点符号○可以随其余倾 织几何结构 斜纱线段的点符号构成点操作对称图案.将单根纱 线段作为无对称单元，图6(a)是具有点群3和6对 称性的纱线段组合而成的两种不同的基本对称单 元，基本对称单元均为正三角形，对于空间群3对 应的基本对称图案，在建立力学分析几何模型时可 以取菱形几何图案作为代表性体积单元（或惯用单 图5有p4mm、p4gm对称性的纱线段组合图案 胞)（如图6(b)所示）·而对于空间群p6的基本对 Fig.5 Yarn segments combination patterns with the symmetrical 称图案除可以采用正三角外，还可以取菱形图案. characteristic of plain groups p4mm and p4gm 由3次轴或6次轴分别与六角点阵组合后的结果 5.4六角编织系 (如图6(c)所示)).将组合结果按基矢量平移得到 对应六角点阵的点群有3、3m、6和6m四种. 图6(d)所示的满足空间群p3和p6的平面编织 依次把四种点群和六角点阵组合起来得到五种二维 织物， 0 p6 8 88 A ·AA (a)基本对称单元 (b)组合图案 (c)六角点阵 (d)织物 图6对应平面群p3、p6的平面编织四织物 Fig.6 Plain braided fabrics with the symmetrical characteristics of plain groups p3 and p6 与平面群p4mm和p4gm类似，平面群 图案时，也有图7所示的畸形投影图案产生，因而不 p3m1、p31m和p6mm在推导对应平面编织织物 存在对应的平面编织几何结构
图4 具有平面群 p4对称性的菱形编织织物．（a） 具有点群4对称性的纱线段组合；（b） 正方点阵；（c） 菱形编织物 Fig．4 Rhombus braided fabrics with the symmetrical characteristic of plane group p4： （a） yarn segments combination with the symmetrical characteristic of point group4；（b） tetragonal lattice；（c） rhombus braided fabric 对应平面群 p4mm 和 p4gm 的编织几何结构 由于在推导其可行编织结构时存在点群4mm 的 点对称性对应图5所示畸形纱线段投影的组合图 案因而可以说这两种平面群不存在对应的二维编 织几何结构． 图5 有 p4mm、p4gm 对称性的纱线段组合图案 Fig．5 Yarn segments combination patterns with the symmetrical characteristic of plain groups p4mm and p4gm 5∙4 六角编织系 对应六角点阵的点群有3、3m、6和6m 四种． 依次把四种点群和六角点阵组合起来得到五种二维 空间群 p3、p3m1、p31m、p6和 p6mm． 图6所示为符合平面群 p3、p6的二维平面编 织织物的推导过程．这里规定在单根纱线组合对称 图案时表达增强纱线段的点符号⦵可以随其余倾 斜纱线段的点符号构成点操作对称图案．将单根纱 线段作为无对称单元图6（a）是具有点群3和6对 称性的纱线段组合而成的两种不同的基本对称单 元．基本对称单元均为正三角形对于空间群 p3对 应的基本对称图案在建立力学分析几何模型时可 以取菱形几何图案作为代表性体积单元（或惯用单 胞）（如图6（b）所示）．而对于空间群 p6的基本对 称图案除可以采用正三角外还可以取菱形图案． 由3次轴或6次轴分别与六角点阵组合后的结果 （如图6（c）所示） ［3］．将组合结果按基矢量平移得到 图6（d）所示的满足空间群 p3和 p6的平面编织 织物． 图6 对应平面群 p3、p6的平面编织［2］织物 Fig．6 Plain braided fabrics with the symmetrical characteristics of plain groups p3and p6 与 平 面 群 p4mm 和 p4gm 类 似平 面 群 p3m1、p31m 和 p6mm 在推导对应平面编织织物 图案时也有图7所示的畸形投影图案产生因而不 存在对应的平面编织几何结构． ·230· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷