耦合位错密度的6111铝合金热变形本构模型

D0L:10.13374.issn1001-053x.2013.10.009 第35卷第10期 北京科技大学学报 Vol.35 No.10 2013年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2013 耦合位错密度的6111铝合金热变形本构模型 傅垒)，王宝雨)凶，林建国1,2)，周请)，马闻宇) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)帝国理工学院机械工程系，伦敦SW72AZ,英国 ☒通信作者，E-mail:bywange@ustb.edu.cm 摘要利用Gleeble-1500热模拟试验机对6111铝合金进行高温拉伸试验，研究了其在变形温度为350、450和550℃ 以及应变速率为0.1、1和10s-1时的热变形行为.6111铝合金的流变应力随温度升高而减小，随应变速率增大而增大， 其热变形从应变硬化阶段过渡到稳态变形阶段.建立了综合考虑应变、温度和应变速率对流变应力的影响以及耦合位错 密度的统一黏塑性本构模型，并通过遗传优化算法求解出本构模型中的材料常数.模型计算得到的真应力·真应变曲线 与试验数据吻合较好. 关键词铝合金；位错：变形：本构模型：遗传算法：高温试验：拉伸试验 分类号TG146.2+1 Constitutive model coupled with dislocation density for hot deforma- tion of 6111 aluminum alloy FU Lei),WANG Bao-yu),LIN Jian-guol2),ZHOU Jing),MA Wen-yul) 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Department of Mechanical Engineering,Imperial College,London SW7 2AZ,UK Corresponding author,E-mail:bywang@ustb.edu.cn ABSTRACT The hot deformation behavior of 6111 aluminum alloy was investigated by high-temperature tensile testing on a Gleeble-1500 thermal-mechanical simulator at deformation temperatures of 350,450,550 C and strain rate of 0.1,1,10 s-1.It is shown that the flow stress of the aluminum alloy decreases when the temperature rises but increases when the strain rate increases,and the hot deformation behavior transfers from a strain-hardening deformation stage to a steady-state deformation stage.A unified viscoplastic constitutive model coupled with dislocation density was established in consideration of the effects of strain,temperature and strain rate on the flow stress.Material constants in the constitutive model were solved through a genetic algorithm.Predicted true stress-true strain curves calculated by this model are in good agreement with experimental data. KEY WORDS aluminum alloys:dislocations;deformation;constitutive models;genetic algorithms;high temperature testing:tensile testing 近年来，铝合金在汽车上的应用受到广泛重 车身板合金中，6111具有最高的强度，但是其在 视，替代普通钢板用作汽车零部件，成为汽车轻量 室温下塑性差，成形比较困难，而热冲压成形工艺 化的有效途径之一四.6000系铝合金具有强度高，耐 可以提高铝合金板的成形性能4.材料的本构模型 腐蚀性好，耐高温性能好等特性②，是汽车车身板 是描述材料在热变形过程中的流变应力与应变、应 及结构用材的常用材料.在已注册的6000系汽车 变速率及温度之间的关系5-可，在热成形过程的数 收稿日期：2013-01-04 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50975023)：因家科技重大专项(2009ZX04014-074-02):现代交通金属材料与加工技术北京 实验室经费资助项目

第 35 卷 第 10 期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vol. 35 No. 10 2013 年 10 月 Journal of University of Science and Technology Beijing Oct. 2013 耦合位错密度的 6111 铝合金热变形本构模型 傅 垒1)，王宝雨1) ，林建国1,2)，周 靖1)，马闻宇1) 1) 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 2) 帝国理工学院机械工程系，伦敦 SW7 2AZ, 英国 通信作者，E-mail: bywang@ustb.edu.cn 摘 要 利用 Gleeble-1500 热模拟试验机对 6111 铝合金进行高温拉伸试验，研究了其在变形温度为 350、450 和 550 ℃ 以及应变速率为 0.1、1 和 10 s−1 时的热变形行为.6111 铝合金的流变应力随温度升高而减小，随应变速率增大而增大， 其热变形从应变硬化阶段过渡到稳态变形阶段. 建立了综合考虑应变、温度和应变速率对流变应力的影响以及耦合位错 密度的统一黏塑性本构模型，并通过遗传优化算法求解出本构模型中的材料常数. 模型计算得到的真应力 - 真应变曲线 与试验数据吻合较好. 关键词 铝合金；位错；变形；本构模型；遗传算法；高温试验；拉伸试验 分类号 TG146.2+1 Constitutive model coupled with dislocation density for hot deforma￾tion of 6111 aluminum alloy FU Lei1) , WANG Bao-yu1) , LIN Jian-guo1,2) , ZHOU Jing1) , MA Wen-yu1) 1) School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) Department of Mechanical Engineering, Imperial College, London SW7 2AZ, UK Corresponding author, E-mail: bywang@ustb.edu.cn ABSTRACT The hot deformation behavior of 6111 aluminum alloy was investigated by high-temperature tensile testing on a Gleeble-1500 thermal-mechanical simulator at deformation temperatures of 350, 450, 550 ℃ and strain rate of 0.1, 1, 10 s−1 . It is shown that the flow stress of the aluminum alloy decreases when the temperature rises but increases when the strain rate increases, and the hot deformation behavior transfers from a strain-hardening deformation stage to a steady-state deformation stage. A unified viscoplastic constitutive model coupled with dislocation density was established in consideration of the effects of strain, temperature and strain rate on the flow stress. Material constants in the constitutive model were solved through a genetic algorithm. Predicted true stress-true strain curves calculated by this model are in good agreement with experimental data. KEY WORDS aluminum alloys; dislocations; deformation; constitutive models; genetic algorithms; high temperature testing; tensile testing 近年来，铝合金在汽车上的应用受到广泛重 视，替代普通钢板用作汽车零部件，成为汽车轻量 化的有效途径之一 [1].6000 系铝合金具有强度高，耐 腐蚀性好，耐高温性能好等特性 [2]，是汽车车身板 及结构用材的常用材料. 在已注册的 6000 系汽车 车身板合金中，6111 具有最高的强度 [3]，但是其在 室温下塑性差，成形比较困难，而热冲压成形工艺 可以提高铝合金板的成形性能 [4] . 材料的本构模型 是描述材料在热变形过程中的流变应力与应变、应 变速率及温度之间的关系 [5−6]，在热成形过程的数 收稿日期：2013-01-04 基金项目：国家自然科学基金资助项目 (50975023)；国家科技重大专项 (2009ZX04014-074-02)；现代交通金属材料与加工技术北京 实验室经费资助项目 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2013.10.009

·1334 北京科技大学学报 第35卷 值模拟，热成形工艺的制定及成形工艺参数的优化 的6111-T4铝合金板材进行了高温拉伸试验，试验 等方面起着重要作用可 材料由ALCOA制造，其各化学成分如表1所示，拉 本文利用Gleeblel.500热模拟试验机，对6111 伸试样的结构与尺寸如图1(a)所示，热电偶及标距 铝合金板进行高温拉伸试验，研究了6111铝合金 位置如图1(b)所示.测试过程中，将热电偶焊接在 热变形过程中的流变应力特征，并建立了能描述材 试样中部表面，用于测试试样温度，控制加热时间 料流动特性的统一黏塑性本构模型. 和冷却速度，通过划线设置长度为15mm的标距， 1试验 用于对应力一应变曲线进行修正，并通过计算得到 利用Gleeble1500热模拟试验机对厚度为2mm 真应力-真应变曲线可. 表16111铝合金化学成分（质量分数） Table 1 Chemical composition of 6111 aluminum alloy % Fe Cu Mn Mg C Zn Ti Al 0.71.1 0.40 0.50.9 0.150.45 0.51.0 0.10 0.15 0.10 余量 (a) 16 R16.25 5w心C30 T=350-550°C =0.1-10s1 60 10s 140 水淬 (b) 15 时间/s 图2高温拉伸试验方案 Fig.2 Experimental scheme of high temperature tensile 图16111铝合金高温拉伸试样.(a)试样尺寸：(b)热电偶 testing 及标距线位置（单位：mm) 伸试验过程中，铝合金试样约有15mm的均温区， Fig.1 High temperature tensile specimen of 6111 aluminum 试验中以15mm作为应变速度的计算与控制的依 alloy:(a)dimension of a specimen;(b)position of the ther- 据口，试验完成后测量变形后两标距线之间的距 mocouple and gauge line (unit:mm) 离，修正后的真应力σ及真应变e公式可表示为： FF, F 热冲压成形过程是一个降温变形过程，为使 mlol() (1) 试验结果能够准确反映铝合金板在热冲压成形过程 c=lnb+△lm=no+r△1 (2) 中的力学性能变化，设计试验方案如图2所示，将 lo 试样以10℃s-1的加热速度升温到550℃，保温 式中，F为拉伸载荷，Am为修正后变形试样的横 5mi,然后以5℃s-1的速度降到所需温度，均 截面积，Ao为试样初始横截面积，l6为试样初始长 匀化处理10s后，在设定的变形温度350、450、550 度，lm为修正后变形试样的长度，△lm为修正后试 ℃和应变速率0.1、1、10s-1下对试样进行拉伸变 样在标距线内的变化量，△1为拉伸时夹头发生的 形，直至拉断，变形终了立即水淬，以保留其高温 位移，T为修正系数，其表达式为 微观组织 △lme T- △l1e (3) 2结果与分析 式中，△lme、△l1e分别为拉伸试验终止时，两标距 利用Gleeble-1500热模拟机做高温拉伸试验时 线内的长度变化量和夹头发生的位移.对于不同的 记录的是时间、载荷与夹头位移等数据，需要通过 试样，所采用的修正系数不同，本文各试样所采用 一定的计算转化为真应力-真应变曲线.在高温拉 的修正系数值范围为0.80.9

· 1334 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 值模拟，热成形工艺的制定及成形工艺参数的优化 等方面起着重要作用 [7] . 本文利用Gleeble1500 热模拟试验机，对 6111 铝合金板进行高温拉伸试验，研究了 6111 铝合金 热变形过程中的流变应力特征，并建立了能描述材 料流动特性的统一黏塑性本构模型. 1 试验 利用 Gleeble1500 热模拟试验机对厚度为 2 mm 的 6111-T4 铝合金板材进行了高温拉伸试验，试验 材料由ALCOA 制造，其各化学成分如表 1 所示，拉 伸试样的结构与尺寸如图 1(a) 所示，热电偶及标距 位置如图 1(b) 所示. 测试过程中，将热电偶焊接在 试样中部表面，用于测试试样温度，控制加热时间 和冷却速度，通过划线设置长度为 15 mm 的标距， 用于对应力 − 应变曲线进行修正，并通过计算得到 真应力 - 真应变曲线 [7] . 表 1 6111 铝合金化学成分 (质量分数) Table 1 Chemical composition of 6111 aluminum alloy % Si Fe Cu Mn Mg Cr Zn Ti Al 0.7∼1.1 0.40 0.5∼0.9 0.15∼0.45 0.5∼1.0 0.10 0.15 0.10 余量 图 1 6111 铝合金高温拉伸试样.(a) 试样尺寸；(b) 热电偶 及标距线位置 (单位：mm) Fig.1 High temperature tensile specimen of 6111 aluminum alloy: (a) dimension of a specimen; (b) position of the ther￾mocouple and gauge line (unit: mm) 热冲压成形过程是一个降温变形过程， 为使 试验结果能够准确反映铝合金板在热冲压成形过程 中的力学性能变化，设计试验方案如图 2 所示，将 试样以 10 ℃ ·s −1 的加热速度升温到550 ℃，保温 5 min，然后以 5 ℃ ·s −1 的速度降到所需温度，均 匀化处理 10 s 后，在设定的变形温度 350、450、550 ℃和应变速率 0.1、1、10 s−1 下对试样进行拉伸变 形，直至拉断，变形终了立即水淬，以保留其高温 微观组织. 2 结果与分析 利用 Gleeble-1500 热模拟机做高温拉伸试验时 记录的是时间、载荷与夹头位移等数据，需要通过 一定的计算转化为真应力 − 真应变曲线. 在高温拉 图 2 高温拉伸试验方案 Fig.2 Experimental scheme of high temperature tensile testing 伸试验过程中，铝合金试样约有 15 mm 的均温区， 试验中以 15 mm 作为应变速度的计算与控制的依 据 [7]，试验完成后测量变形后两标距线之间的距 离，修正后的真应力 σ 及真应变 ε 公式可表示为： σ= F Am = F A0l0 lm= F A0l0 (l0+τ∆l1)， (1) ε= ln l0+∆lm l0 = ln l0+τ∆l1 l0 . (2) 式中，F 为拉伸载荷，Am 为修正后变形试样的横 截面积，A0 为试样初始横截面积，l0 为试样初始长 度，lm 为修正后变形试样的长度，∆lm 为修正后试 样在标距线内的变化量，∆l1 为拉伸时夹头发生的 位移，τ 为修正系数，其表达式为 τ= ∆lme ∆l1e . (3) 式中，∆lme、∆l1e 分别为拉伸试验终止时，两标距 线内的长度变化量和夹头发生的位移. 对于不同的 试样，所采用的修正系数不同，本文各试样所采用 的修正系数值范围为 0.8∼0.9

第10期 傅垒等：耦合位错密度的6111铝合金热变形本构模型 ·1335· 通过上述公式计算得到6111铝合金在不同温度 增殖，位错间的相互作用增大位错的运动阻力⑧，同 和应变速率下的真应力-真应变曲线如图3所示. 时由于应变较小，晶内储存能较小，动态回复和动态 由图3可以看出，6111铝合金的热变形分为应变硬 再结晶等软化过程难以进行，加工硬化处于主导地 化和稳态变形两个阶段，在其热变形中同时存在加 位.当流变应力达到峰值以后，进入稳态变形阶段， 工硬化和动态软化的过程，变形时位错的增殖及位 随着应变不断增大，晶内储存能逐渐升高⑨，动态 错间的相互作用导致硬化，位错通过攀移或交滑移 软化和位错增殖引起的应变硬化逐步趋向平衡.此 并在热激活和外加应力作用下发生合并、重组使材 时位错运动速度极快，在其热变形过程中，硬化和 料发生动态回复和动态再结晶而软化).在变形的开 软化过程几乎同时完成，当软化和硬化达到动态平 始阶段，流变应力随应变的增加迅速上升，位错不断 衡后，其真应力-真应变曲线几乎为一直线【0. 100f (a) 120「b) 140[(c 100 120 80 100 80 6 60 6 60 60 40 ◆350°C 京 40 ◆350C -◆350PC 20 +450°C +450°℃ 量550°C 20 +450C 量550C 20 量550°C 0 0 0 0.10.20.30.40.50.6 0 0.10.20.30.40.50.6 0 0.10.20.30.40.50.6 真应变，8 其应变， 真应变，e 图3 6111铝合金在不同温度和应变速率下的真应力-真应变曲线.(a)0.1s-1:(b)1s-1:(c)10s-1 Fig.3 True stress-true strain curves of 6111 aluminum alloy at different temperatures and strain rates:(a)0.1 s;(b)1 s; (c)10s-1 由图3还可以看出：6111铝合金的流变应力受 a-n{zA+[zA+}.间 温度和应变速率影响较大.在同一应变速率、不同 变形温度条件下，随着温度的升高，同一应变量所 式中，Z=Eexp(Q/RT),a、n和A均为与温度无 对应的6111铝合金流变应力减小，这是由于温度 关的材料常数，可通过线性拟合得到，Q为热变形 升高，位错运动阻力下降：在同一温度、不同应变 激活能，R为摩尔气体常数，T为热力学温度 速率条件下，随着应变速率的增大，同一应变量所 以上两种形式的方程在其相关领域得到了广 对应的6111铝合金流变应力增大，说明6111铝合 泛应用，并能够较好地描述温热成形中铝合金的应 金为正应变速率敏感材料. 力应变关系.为了考虑在热变形过程中位错密度对 流变应力的影响，本文建立了耦合位错密度的6111 3热变形本构模型 铝合金流变应力本构模型 3.1耦合位错密度的本构模型的建立 对于一种材料，位错密度的实际值很难测量， 材料的本构模型是描述在热变形过程中的流 一般情况下，通常定义一个正则化位错密度币来衡 变应力应变关系.在对铝合金温热成形的研究中， 量其大小，可表示为 张志等u采用了Field-Backofen方程建立了7B04- T6铝合金高温拉伸本构方程，其形式为 -1、A (6) a=Cengm 式中，P:为材料初始位错密度，p为变形过程中材 (4) 料的位错密度.在变形前，币为0：位错密度达到饱 式中，C为材料常数，n为应变强化指数，E为应变 和状态时，币趋向于1. 速率，m为应变速率敏感系数. 在高温状态下，流变应力σ为应变和应变率的 此外，上海交通大学闯、中南大学回、西安交通 函数[4，可表示为 大学☒等高校的研究人员采用Zener-Hollomon参 数的双曲正弦函数来描述铝合金的高温流变应力， =K的E (7) 其形式为： 式中，ep为塑性应变，p为塑性应变率，N为应变

第 10 期 傅 垒等：耦合位错密度的 6111 铝合金热变形本构模型 1335 ·· 通过上述公式计算得到 6111 铝合金在不同温度 和应变速率下的真应力 – 真应变曲线如图 3 所示. 由图3 可以看出，6111 铝合金的热变形分为应变硬 化和稳态变形两个阶段，在其热变形中同时存在加 工硬化和动态软化的过程，变形时位错的增殖及位 错间的相互作用导致硬化，位错通过攀移或交滑移 并在热激活和外加应力作用下发生合并、重组使材 料发生动态回复和动态再结晶而软化[5] . 在变形的开 始阶段，流变应力随应变的增加迅速上升，位错不断 增殖，位错间的相互作用增大位错的运动阻力 [8]，同 时由于应变较小，晶内储存能较小，动态回复和动态 再结晶等软化过程难以进行，加工硬化处于主导地 位. 当流变应力达到峰值以后，进入稳态变形阶段， 随着应变不断增大，晶内储存能逐渐升高 [9]，动态 软化和位错增殖引起的应变硬化逐步趋向平衡. 此 时位错运动速 度极快，在其热变形过程中，硬化和 软化过程几乎同时完成，当软化和硬化达到动态平 衡后，其真应力 – 真应变曲线几乎为一直线 [10] . 图 3 6111 铝合金在不同温度和应变速率下的真应力 – 真应变曲线. (a) 0.1 s−1；(b) 1 s−1；(c) 10 s−1 Fig.3 True stress-true strain curves of 6111 aluminum alloy at different temperatures and strain rates: (a) 0.1 s−1 ; (b) 1 s−1 ; (c) 10 s−1 由图 3 还可以看出：6111 铝合金的流变应力受 温度和应变速率影响较大. 在同一应变速率、不同 变形温度条件下，随着温度的升高，同一应变量所 对应的 6111 铝合金流变应力减小，这是由于温度 升高，位错运动阻力下降；在同一温度、不同应变 速率条件下，随着应变速率的增大，同一应变量所 对应的 6111 铝合金流变应力增大，说明 6111 铝合 金为正应变速率敏感材料. 3 热变形本构模型 3.1 耦合位错密度的本构模型的建立 材料的本构模型是描述在热变形过程中的流 变应力应变关系. 在对铝合金温热成形的研究中， 张志等 [11] 采用了 Field-Backofen 方程建立了 7B04- T6 铝合金高温拉伸本构方程，其形式为 σ=Cεnε˙ m. (4) 式中，C 为材料常数，n 为应变强化指数，ε˙ 为应变 速率，m 为应变速率敏感系数. 此外，上海交通大学 [8]、中南大学 [9]、西安交通 大学 [12] 等高校的研究人员采用 Zener-Hollomon 参 数的双曲正弦函数来描述铝合金的高温流变应力， 其形式为： σ= 1 α ln ½ (Z/A) 1/n + h (Z/A) 2/n +1i1/2¾ . (5) 式中，Z = ˙ε exp (Q/RT)，α、n 和 A 均为与温度无 关的材料常数，可通过线性拟合得到，Q 为热变形 激活能，R 为摩尔气体常数，T 为热力学温度. 以上两种形式的方程在其相关领域得到了广 泛应用，并能够较好地描述温热成形中铝合金的应 力应变关系. 为了考虑在热变形过程中位错密度对 流变应力的影响，本文建立了耦合位错密度的 6111 铝合金流变应力本构模型. 对于一种材料，位错密度的实际值很难测量， 一般情况下，通常定义一个正则化位错密度 ρ¯ 来衡 量其大小 [13]，可表示为 ρ¯=1 − ρi ρ . (6) 式中，ρi 为材料初始位错密度，ρ 为变形过程中材 料的位错密度. 在变形前，ρ¯ 为 0；位错密度达到饱 和状态时，ρ¯ 趋向于 1. 在高温状态下，流变应力 σ 为应变和应变率的 函数 [14]，可表示为 σ=KεN P ε˙M P . (7) 式中，εP 为塑性应变，ε˙P 为塑性应变率，N 为应变

·1336 北京科技大学学报 第35卷 强化指数，M为应变率强化指数，K为材料常数. 真应变曲线的计算值与试验值比较来决定材料常数 由式(7)可得 的值，可先求解出参数K、k、B、C、E、A、1和 1/M 2,其中K、k、B、C和E为与温度有关的参数. Ep= (8) 由于所建立的本构模型由常微分方程组构成， 材料具有一个初始动态屈服极限k,在热变形 其真应力-真应变曲线的计算值需要通过求解常微 过程中，位错塞积将产生一个硬化应力R,从而流 分方程组得到，采用代数方法很难求解.在优化微 变应力可表示为σ-R-k,根据流变应力的物理意义， 分方程组的常数值时，采用传统的优化方法，总会 其值必须非负，式（⑧）演化为 碰到局部解的问题，即给定的初始值对优化结果的 o-R-k m 影响太大，往往很难找到一个全局最优解.遗传算 ip= (9) K 法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随 机搜索算法，它不依赖于梯度信息，而是通过模拟 式中，R为塑性变形中位错密度的积累引起的，其 值与/2成正比[同，可表示为R=B/2,两边求 自然进化过程来搜索最优解，可随机给定变量的初 始值，具有群体搜索特性，能够自适应地调整搜索 导，得 方向，对目标函数没有连续可导的要求，且具有全 R=0.5Bp-1/2市. (10) 局优化能力，特别适合于求解多值优化问题7-1 式(9)和式(10)中，n1为材料常数，B、K和k与 基于以上特点，本文通过遗传算法来求解本构方程 温度相关，可通过Arrhenius方程得出，其表达式为 中的材料常数.使用遗传算法可通过Matlab软件 专门设计的遗传算法与直接搜索工具箱来实现，采 B=Bo exp QB (11) 用该工具箱来求解本构模型中的材料常数，需要编 写待优化的*.m(Matlab/M-fle)文件，即建立目标 K=Ko exp QK (12) RgT 函数，本文以流动应力的计算值和试验值作为参数 建立目标函数18-1，其表达式为 k=ko exp （RT (13) 其中，Rg为气体摩尔常数，Q为激活能 {(} 18) 在高温变形条件下，位错密度的变化率与材料 的动态回复和静态回复有关6，其表达式为 式中：X为待求解的材料常数，X=x12,,x,s 是常数的个数，f(X)为流动应力残差，M为流动 =A·(1-)p-C2. (14) 应力试验曲线的个数，N;为第j条流动应力试验 由虎克定律有 或计算曲线上所取的数据点数，号为同一应变i和 应变率j下流变应力的试验值，为同一应变i和 =E(ET-EP). (15) 应变率了下流变应力的计算值，可通过统一黏塑性 式(14)和式(15)中，e红为总应变，A和n2为材料 本构方程中式(9)、(10)、(14)和(15)构成的常微分 常数，E和C与温度相关，可通过Arrhenius方程 方程组求解得到. 得出，其表达式为 本模型用遗传算法待求解的材料参数为 E=Eo exp QE X=[k,K,1,C,B,E,A,n2],其具体求解方法通过以 (16) 下步骤进行. Qc C=CoexpRgT (17) (1)根据温度为350℃，不同应变速率条件下 真应力一真应变曲线的计算值与试验值（每条曲线 式（⑨）式(17)联立组成的常微分方程组构成 取15个数据点)，通过遗传算法与直接搜索工具箱 了耦合位错密度的统一黏塑性本构模型. 设置目标函数，且取变量个数8，并估计求解域的上 3.2本构模型中材料常数的求解 下界，本文中下界为向量XL=[1,5,2,0,10,1000,5,0, 统一黏塑性本构方程模型是非线性且相互耦 上界为向量Xu=[5,100,10,1,100,20000,30,5,在 合，一共有13个材料常数Ko、o、Bo、C0、Eo、QK、 提交计算之前，设置求解精度为10-6，即染色体的 Qk、QB、Qc、QE、A、n1和2需要求解.通过不长度为20，种群尺度为20，交叉概率为0.8，变异 同温度不同应变率条件下6111铝合金的真应力- 概率为0.01，终止代数为500.通过500代运算得

· 1336 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 强化指数，M 为应变率强化指数，K 为材料常数. 由式 (7) 可得 ε˙P= µ σ KεN P ¶1/M . (8) 材料具有一个初始动态屈服极限 k，在热变形 过程中，位错塞积将产生一个硬化应力 R，从而流 变应力可表示为 σ–R–k，根据流变应力的物理意义， 其值必须非负，式 (8) 演化为 ε˙P= µ σ − R − k K ¶n1 . (9) 式中，R 为塑性变形中位错密度的积累引起的，其 值与 ρ¯ 1/2 成正比 [15]，可表示为 R = Bρ¯ 1/2，两边求 导，得 R˙ =0.5Bρ¯ −1/2ρ¯˙ . (10) 式 (9) 和式 (10) 中，n1 为材料常数，B、K 和 k 与 温度相关，可通过 Arrhenius 方程得出，其表达式为 B=B0 exp µ QB RgT ¶ ， (11) K=K0 exp µ QK RgT ¶ ， (12) k=k0 exp µ Qk RgT ¶ . (13) 其中，Rg 为气体摩尔常数，Q 为激活能. 在高温变形条件下，位错密度的变化率与材料 的动态回复和静态回复有关 [16]，其表达式为 ρ¯=A · (1 − ρ¯) · |ε˙P| − Cρ¯ n2 . (14) 由虎克定律有 σ=E (εT − εP). (15) 式 (14) 和式 (15) 中，εT 为总应变，A 和 n2 为材料 常数，E 和 C 与温度相关，可通过 Arrhenius 方程 得出，其表达式为 E=E0 exp µ QE RgT ¶ ， (16) C=C0 exp µ − QC RgT ¶ . (17) 式 (9)∼ 式 (17) 联立组成的常微分方程组构成 了耦合位错密度的统一黏塑性本构模型. 3.2 本构模型中材料常数的求解 统一黏塑性本构方程模型是非线性且相互耦 合，一共有 13 个材料常数 K0、k0、B0、C0、E0、QK、 Qk、QB、QC、QE、A、n1 和 n2 需要求解. 通过不 同温度不同应变率条件下 6111 铝合金的真应力 − 真应变曲线的计算值与试验值比较来决定材料常数 的值，可先求解出参数 K、k、B、C、E、A、n1 和 n2，其中 K、k、B、C 和 E 为与温度有关的参数. 由于所建立的本构模型由常微分方程组构成， 其真应力 - 真应变曲线的计算值需要通过求解常微 分方程组得到，采用代数方法很难求解. 在优化微 分方程组的常数值时，采用传统的优化方法，总会 碰到局部解的问题，即给定的初始值对优化结果的 影响太大，往往很难找到一个全局最优解. 遗传算 法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随 机搜索算法，它不依赖于梯度信息，而是通过模拟 自然进化过程来搜索最优解，可随机给定变量的初 始值，具有群体搜索特性，能够自适应地调整搜索 方向，对目标函数没有连续可导的要求，且具有全 局优化能力，特别适合于求解多值优化问题 [17−18] . 基于以上特点，本文通过遗传算法来求解本构方程 中的材料常数. 使用遗传算法可通过 Matlab 软件 专门设计的遗传算法与直接搜索工具箱来实现，采 用该工具箱来求解本构模型中的材料常数，需要编 写待优化的 *.m(Matlab/M-file) 文件，即建立目标 函数，本文以流动应力的计算值和试验值作为参数 建立目标函数 [18−19]，其表达式为 f(X) = 1 M X M j=1    1 Nj X Nj i=1 à ln σ c ij σ e ij !2    . (18) 式中：X 为待求解的材料常数，X= [x1,x2,···, xs]，s 是常数的个数，f(X) 为流动应力残差，M 为流动 应力试验曲线的个数，Nj 为第 j 条流动应力试验 或计算曲线上所取的数据点数，σ e ij 为同一应变 i 和 应变率 j 下流变应力的试验值，σ c ij 为同一应变 i 和 应变率 j 下流变应力的计算值，可通过统一黏塑性 本构方程中式 (9)、(10)、(14) 和 (15) 构成的常微分 方程组求解得到. 本 模 型 用 遗 传 算 法 待 求 解 的 材 料 参 数 为 X= [k,K,n1,C,B,E,A,n2]，其具体求解方法通过以 下步骤进行. (1) 根据温度为 350 ℃，不同应变速率条件下 真应力 − 真应变曲线的计算值与试验值 (每条曲线 取 15 个数据点)，通过遗传算法与直接搜索工具箱 设置目标函数，且取变量个数 8，并估计求解域的上 下界，本文中下界为向量 XL= [1,5,2,0,10,1000,5,0]， 上界为向量 XU = [5,100,10,1,100, 20000, 30, 5]，在 提交计算之前，设置求解精度为 10−6 , 即染色体的 长度为 20，种群尺度为 20，交叉概率为 0.8，变异 概率为 0.01，终止代数为 500. 通过 500 代运算得

第10期 傅垒等：耦合位错密度的6111铝合金热变形本构模型 1337· 到的目标函数适应度值如图4所示.由图4可知， (3)将上两步计算得到的与温度相关参数代入 在运算初始阶段，目标函数收敛很快，随着迭代的 Arrhenius方程式(11)、(12)、(13)、(16)和(17)，求 进行，目标函数的适应度值变化幅度减小，逐渐趋 解得到Arrhenius方程的常数系数与相关的激活能： 于稳定值，在第500代时，最佳适应度值为0.6892， 最后通过得到的材料常数，预测温度为550℃，不 此时拟合的真应力-真应变曲线的计算值与试验值 同应变速率时的真应力一真应变曲线，通过与试验 如图5所示，由此获得一组材料参数值 数据比较来验证材料常数的可靠性， 1.05 通过以上步骤，得到耦合位错密度的6111铝 最佳适应度值 1.00 ·平均适应度值 合金统一黏塑性本构方程的材料常数如表2所示 100 0.95 90 0.90 80 0 ●● 0.85 6 0.80 0 0.75 30 量-0.191 0.70 ●-18 ▲1081 0.65 10 050100150200250300350400450500 进化代数 0.0 0.1 0.20.30.40.5 0.6 真应变，e 图4 目标函数的适应度值 图6 450℃下6111铝合金真应力-真应变曲线的计算值 Fig.4 Fitness values of the objective function (实线)与试验值（符号） 140r Fig.6 Calculated(solid curves)and experimental(symbols) stress-strain relationships for 6111 aluminum alloy at 450 C 120 表26111铝合金黏塑性本构方程的材料常数值 100 Table 2 Material constants of 6111 aluminum alloy for vis- ● 6 80 ■ coplastic constitutive equations 材料常数 数值 材料常数 数值 60 8-0.181 A 6.8162 Co/s-1 2.0292 -18 nl 5.4934 Qc/(J-mol-1) 4956.4 ★10s1 n2 1.5012 Bo/MPa 3.0895 20 ko/MPa 2.6122 QB/(J-mol-1) 15950.6 Qk/(J-mol-1) 2251.8 Eo/MPa 290.62 0.0 0.1 0.20.30.40.50.6 Ko/MPa 4.1421 QE/(J-mol-1) 11438.5 真应变，6 QK/(J-mol-1) 11329.8 图5350℃下6111铝合金真应力-真应变曲线的计算值 3.3本构模型的验证 (实线)与试验值（符号） 通过求解得到的材料常数值，代入本构模型 Fig.5 Calculated(solid curves)and experimental(symbols) 中，得到温度为550℃时，不同应变速率下的预测 stress-strain relationships for 6111 aluminum alloy at 350 C 值与试验值对比结果如图7所示. (2)根据温度为450℃，不同应变速率条件下 由图5~图7可知，所建立的耦合位错密度的 真应力-真应变曲线的计算值与试验值，只改变第 6111铝合金本构方程的预测值（或计算值）与试验 一步中与温度有关的参数，将与温度无关的参数设 值吻合较好，能够较好地描述6111铝合金在热变 为定值，从而得到本步计算中待求解的材料参数为 形下的流变应力，为制定6111铝合金热成形工艺及 X'=k,K,C,B,E,采用与第一步相同的运算参数， 对其进行热成形有限元模拟提供一定的理论依据. 通过遗传算法的500代运算，终止时的最佳适应度 值为0.6889，此时拟合的真应力-真应变曲线的计 4结论 算值与试验值如图6所示，由此获得另一组与温度 (1)6111铝合金在热变形过程中，在同一变形 相关的材料参数值. 温度、不同应变速率条件下，同一应变量所对应的